El efecto túnel

El desarrollo de la mecánica cuántica hace posible el descubrimiento de nuevos efectos, imposibles desde un punto de vista clásico. Quizás el más popular es el efecto túnel, donde, haciendo una comparación rápida y mala, es como si al tirar una pelota a una pared, la atravesara sin tocarla. Así es como se desprende de un análisis de una situación análoga, a través de la ecuación de Schrödinger.

La pared cuántica

Veamos primero qué se entiende por “pared”, y qué le ocurre a un electrón cuando llega a ésta. La energía de una partícula siempre es la suma de su energía cinética, y la energía potencial. Por tanto, su energía siempre será igual o mayor que la potencial. Los casos en que la energía es menor que a potencial, desde la física clásica, representan estados imposibles de alcanzar por parte de una partícula. Así, el punto en que la energía total se iguala a la potencial representa un “punto de retorno”, la partícula no puede avanzar, sino que debe retroceder. Es el equivalente a una “pared”.

En la figura, la energía del electrón de arriba es mayor que el escalón, y por tanto lo supera, perdiendo un poco de energía cinética. El electrón de abajo en cambio, debe retroceder tras llegar al punto en que su energía es igual a la energía potencial, y por tanto, su energía cinética se anula en ese punto.

Analicemos la situación del segundo electrón desde el punto de visto cuántico, con la ecuación de Schrödinger.

La ecuación a resolver es la siguiente:

cuya solución, vimos en la entrada anterior, es una combinación de seno y coseno. La combinación de seno y coseno, por la fórmula de Euler, es equivalente a una función exponencial imaginaria, y más útil para el análisis que sigue. Así, la función de onda se puede expresar de forma general como:

Tal como vimos anteriormente, k (el vector de onda) está relacionado con el momento cinético, y por tanto, el sentido en que se desplaza la partícula. Un signo + significa que se desplaza en el sentido creciente de x (va de izquierda a derecha). El signo – describe un movimiento en sentido contrario. Tal como se ha planteado el dibujo, estamos en el primer caso, es decir, el electrón se desplaza de izquierda a derecha, situación que en la función de onda describe el primer término(k positivo). Por tanto, en nuestro caso concreto, se debe escoger B=0 para anular el segundo término.

Veamos ahora las dos regiones del espacio que delimita el escalón. A la izquierda, (E-V) es una cantidad positiva,(energía total mayor que la potencial), y la ecuación de onda representa a un electrón libre (una exponencial imaginaria, o una combinación de funciones seno y coseno). En cambio, en la zona derecha, (E-V) es negativo (energía menor que la energía potencial), el vector de onda es imaginario, y la función de onda representa una exponencial real decreciente. Es decir, aún siendo una zona prohibida según la física clásica, en la mecánica cuántica una partícula puede existir en esa zona, pero con una probabilidad cada vez menor, según se profundiza en la pared.

La distancia que puede penetrar un electrón en la zona prohibida antes de que su probabilidad sea prácticamente nula, depende de la diferencia entre su energía y el valor del potencial. Cuanto mayor sea la diferencia E-V, más rápidamente cae la probabilidad. En el caso extremo en que V tiende a infinito, la profundidad de penetración tiende a cero, es decir, el electrón no entrará en la pared (tal como se asumió cuando hablábamos del pozo cuántico).

El efecto túnel

Por tanto, un partícula puede penetrar en una pared de potencial, algo imposible según la física clásica. Una partícula puede penetrar una distancia (pequeña), aunque la probabilidad de encontrar a la partícula en ese lugar disminuye según se profundiza. ¿Qué ocurre si la pared de potencial termina antes de que esta probabilidad se extinga, o se reduzca demasiado?. En este caso, al “otro lado” de la pared la función de onda vuelve a describirse por un electrón libre. Es por tanto posible que un electrón llegue a una barrera, la atraviese, y aparezca al otro lado de ésta, con una probabilidad determinada, aunque menor que la que tenía antes de atravesar la barrera.

La probabilidad de atravesar la barrera depende de la masa de la partícula, de la altura de la barrera, pero sobre todo, de su anchura. Las distancias típicas para que la probabilidad sea suficiente para hacer túnel está en el orden de los angstroms y nanómetros.

Desintegración alfa

La emisión de partículas alfa está relacionada con el efecto túnel. Una partícula alfa es un átomo compuesto por 2 protones y 2 neutrones, sin electrones. Corresponde a un núcleo de Helio 4 (⁴He²⁺). Un átomo con un número elevado de protones y neutrones mantiene estas partículas pegadas entre sí gracias a la interacción fuerte. Un esquema de la energía potencial en el interior de un átomo es como sigue:

Existe una zona de barrera de potencial en la transición entre el dominio de la interacción fuerte y la electrostática. Superar esa barrera requeriría aportar una gran cantidad de energía. Sin embargo, una partícula alfa es capaz de atravesar la barrera por efecto túnel, desintegrando así el núcleo al que pertenecía.

El microscopio de efecto túnel

El efecto túnel es la base hoy día de algunos dispositivos, como son diodos, láseres y detectores. Pero una de las aplicaciones más importantes está relacionada con la microscopía de superficies.

Ver STM: Microscopio de efecto túnel

La ecuación de Schrödinger en acción

La ecuación de Schrödinger determina la función de onda de un sistema. En particular, aplicado a un electrón, describe cómo se comporta cuando está un entorno específico descrito por la energía potencial V(x), y unas condiciones de contorno. Según la expresión de este potencial y condiciones, la ecuación es más o menos sencilla de resolver. Vamos a ver un par de casos sencillos, de donde se deducen consecuencias importantes.

El electrón libre

La situación más simple es cuando un electrón no se halla sometido a ningún tipo de interacción. En este caso, la energía potencial es nula, y se habla de un “electrón libre”. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo queda entonces como

La solución a esta ecuación es:

ψ(x)=A·sen(kx)+B·cos(kx)

Por cada valor de k, hay una autofunción, o estado del sistema. El significado de la variable k está relacionado con el momento cinético. Al sustituir la función de onda en la ecuación de Schrödinger, se puede deducir el valor de la energía en función de la variable k:

de donde se deduce que k es proporcional al momento cinético. A la variable k se le denomina vector de onda, dado que si recordamos la expresión del momento para un fotón,

k está relacionado con la longitud de onda.

La relación entre E y k se denomina relación de dispersión, y describe los estados posibles del electrón. En el caso del electrón libre, toda su energía es únicamente la cinética, debida a su movimiento. El electrón se halla lejos de cualquier interacción y no hay ninguna condición especial sobre k o sobre E, y por tanto, el electrón puede tener cualquier valor de energía cinética. Es decir: un electrón libre no tiene cuantizada su energía, su energía es un continuo, y existen infinitos estados posibles para él.

El pozo cuántico infinito

El segundo ejemplo es llamado el pozo cuántico. La energía total del electrón siempre es la suma de su energía cinética y potencial. Si limitamos una región del espacio donde el potencial es nulo, pero fuera de éste se hace infinito, entonces el electrón se halla confinado, metido en un pozo, limitado entre las posiciones x=0 y x=L.

No tiene sentido plantear la ecuación de Schrödinger en una zona de potencial infinito, dado que el electrón nunca tendrá una energía total mayor que ésta; pero sí se puede plantear dentro del pozo. No obstante, ahora es necesario incluir condiciones de contorno: la probabilidad de encontrar al electrón en una zona donde no tiene sentido planteárselo tiene que se nula; es decir:

ψ(0)=0
ψ(L)=0

La solución a la ecuación de Schrödinger en la región del pozo sigue siendo la misma que para el electrón libre. Al aplicar las condiciones de contorno, sin embargo:

De la primera condición, se deduce que todas las autofunciones se describen sólo por la función seno, y no por la suma de seno y coseno, como en el electrón libre. Pero la condición más importante es la segunda: sólo puede ser cero cuando A·sen(kL)=0. Una solución es que A=0. Pero al ser el seno una función periódica, esto también ocurre cuando kL es un múltiplo entero de π. De esta forma, se revela que el vector de onda k está cuantizado: no puede existir cualquier estado, sino sólo aquellos cuyo vector de onda sea un múltiplo entero de π/L. Y como consecuencia, la energía también está cuantizada:

Es decir, aún cuando siguen existiendo infinitos estados posibles para un electrón en un pozo infinito, la energía de éstos no puede ser cualquiera, sino que está cuantizada.

Esta gráfica representa los valores de energía que puede tener una partícula dentro de un pozo infinito, representado por las dos líneas verticales azules. Superpuesta a cada energía, está puesta la función de onda correspondiente a ese estado.

La consecuencia más importante de estos dos ejemplos es entender que una partícula que se halla confinada entre dos barreras de potencial, no puede tener cualquier energía, sino que la tendrá cuantizada. Por el contrario, cuando una partícula se halla libre de cualquier interacción, no hay condiciones para su energía, sino que es continua.

El átomo de Schrödinger

¿Cuál es el potencial de energía de unos electrones en el átomo? Este potencial no es otro que el electrostático, que es inversamente proporcional a la distancia:

donde r es la distancia en el eje radial, y Z el número de protones del átomo. En este potencial se pueden ver dos zonas claramente separadas, dependiendo de la energía del electrón:

Una zona donde un electrón sería considerado “libre”, y por tanto, fuera del átomo y con energía continua (Zona A), y una zona donde el electrón se halla confinado por el potencial (Zona B), y por tanto su energía cuantizada. La solución de la ecuación de Schrödinger para este potencial es complicada, pero hace aparecer finalmente la misma cuantización que Bohr y Sommerfeld tuvieron que postular para describir los electrones del átomo.

La frontera entre las zonas A y B se denomina "nivel de vacío", es la energía de referencia respecto de la cual se refieren las otras., y representa la diferencia entre un electrón ligado, o confinado dentro del átomo, y un electrón que ha conseguido escapar. Según se toma esta referencia, las energías de los electrones ligados son negativas, mientras que la de los electrones libres son positivas.

Para arrancar un electrón de un átomo, es preciso darle una energía al menos igual a la de su ligadura. Con eso, su energía queda en el nivel de vacío. Si se le suministra más, esa energía extra se emplea en poner en movimiento al electrón, energía cinética, que al ser ya un electrón libre, no tiene ningún tipo de condición especial.

La interpretación de Copenhague

Tras el desarrollo de la mecánica cuántica ondulatoria de Schrödinger, y la matricial de Heisenber, Paul Dirac dio un paso más allá explicando como ambas teorías eran la misma, con distinta descripción. Más aún, Dirac profundizó en el desarrollo incluyendo la radiación electromagnética y efectos relativistas, de donde surgió la electrodinámica cuántica, y la predicción de la existencia de partículas exactamente iguales a las ya conocidas, excepto que su carga estaba invertida: Dirac descubría así las antipartículas.

Paralelo al desarrollo, se trabaja igualmente en la interpretación de la teoría cuántica. Si la mecánica clásica trata de situaciones y sistemas cotidianos, que se traducen a ecuaciones, en la física cuántica si bien los primeros descubrimientos (radiación de cuerpo negro, efecto fotoeléctrico, etc…) responden a este esquema, al desarrollar en profundidad la mecánica se presenta el caso contrario, en las que se desarrollan soluciones matemáticas a las que hay que encontrar una interpretación física. (Las antipartículas son un caso así, por ejemplo)

No fue hasta la conferencia de Solvay de 1927 en Bruselas que la interpretación quedó finalmente establecida, debido principalmente a Niels Bohr. Una interpretación no exenta de debate, ya que científicos de la talla de Einstein no la compartieron, e intentaron una y otra vez ponerla a prueba con experimentos mentales, tratando de demostrar algún tipo de contradicción.

Probabilidad y función de onda

La interpretación de la función de onda no es algo trivial de hacer. Dependiendo del problema, el sistema puede hallarse en distintos estados representados por su posición, momento cinético, momento angular, o cualquier otra cantidad observable; estados que se describen a través de su energía.

Pero el principio de incertidumbre de Heisenberg muestra que es imposible determinar con total precisión estos mismos valores. Max Born (1882-1970) llegó a la conclusión de que la función de onda representa entonces la probabilidad de encontrar a un sistema en un estado determinado. Para un átomo, representa la probabilidad de encontrar a un electrón en una posición dada, pero no va a describir cómo éste orbita alrededor del núcleo, de igual forma la física clásica describe la trayectoria de un planeta alrededor del Sol.

Pierde así sentido el concepto de órbita que se había manejado, y surge el concepto de orbital, que es la región del espacio en la cual es probable encontrar al electrón. En vez de una órbita circular, donde un planeta ocupa una posición determinada, existen regiones del espacio, con más probabilidad que otras de encontrar el electrón allí.

Complementariedad: dualidad partícula – onda

Prácticamente desde el inicio del desarrollo de la mecánica cuántica, quedó patente que ondas y partículas parecían ser dos propiedades que puede poseer un solo sistema. Para un físico clásico, estas dos propiedades son excluyentes, y por tanto, una de las dos debe estar equivocada.

Sin embargo, para un físico cuántico las propiedades ondulatoria y corpuscular no son excluyentes, sino complementarias. Cual de las dos propiedades se revela en un experimento, depende del experimento en cuestión. Un mismo experimento nunca pondrá de manifiesto ambas propiedades, por lo que no es posible discriminar si una es más correcta que la otra.

La función de onda permite representar esta complementariedad. Una función de onda que abarque una región de espacio extensa es incompatible con la idea de una partícula ocupando una posición. Se habla entonces de una función de onda deslocalizada, y el sistema se comportará más como una onda que como una partícula. Y puede suceder lo contrario, que la función de onda se halle muy concentrada en una región pequeña del espacio: entonces el sistema se comportará como una partícula, y se habla de una función de onda localizada.

Colapso de la función de onda y el gato de Schrödinger

Vimos como la función de onda, matemáticamente, es la suma (o superposición) de una serie de autofunciones para las cuales se podía resolver la ecuación de Schrödinger. Estas autofunciones representan además cada uno de los estados posibles de un sistema; pero cuando se hace una observación (o medida experimental), uno y sólo uno de estos estados se revela en el experimento, con una probabilidad determinada.

Esto quiere decir, que antes de hacer una medida, el sistema se halla indefinido: el estado es una mezcla de todos los estados posibles. Pero sin embargo, al observar y hacer interaccionar el sistema de medida con el sistema de estudio, la interacción hace que el sistema se decante por un estado en concreto, produce un colapso de la función de onda a un estado en concreto, el cual mantendrá hasta que se le someta a otro tipo de interacción distinta.

El ejemplo más conocido que se emplea para ilustrar este colapso, es el experimento teórico conocido como el gato de Schrödinger. Sin embargo, Schrödinger no era partidario precisamente de esta interpretación, y lo que intentaba era ilustrar lo absurda que era:

En un caja, encerramos un gato junto con una fuente radioactiva, un contador Geiger, un martillo y un recipiente con un gas venenoso. La desintegración de la fuente es un proceso cuántico, que tiene una probabilidad del 50% de ocurrir. Si ocurre, el contador Geiger activa un dispositivo por el cual el martillo rompe el frasco del gas, y el gato muere. Si no ocurre, el gato permanece vivo. Todo está metido en un caja, y la única forma de saber si el gato sigue vivo o muerto es abriéndola. Por tanto, el gato tiene una probabilidad del 50% de estar vivo o muerto. Según la interpretación cuántica, mientras no se abra la caja, el gato está a la vez en un estado vivo y muerto, lo cual parece ridículo.

Es sin embargo más útil para entender el colapso, hablar del experimento de Stern y Gerlach. Recordemos: un electrón posee un spin que puede tener dos estados : “arriba” (s=1/2) y abajo(s=-1/2). Se le hace atravesar una zona con un campo magnético no uniforme. Antes de atravesarlo, no se sabe si el estado del spin del electrón: tiene un 50% de probabilidad de estar en uno u otro. Pero al atravesarlo, el spin se orienta (en realidad, la superposición de los estados arriba y abajo colapsa a uno de ellos), de forma que se el electrón se desvía de su trayectoria en un sentido u otro.

Si ahora ese electrón, con un spin determinado, le hacemos pasar por otro dispositivo de Stern – Gerlach , con el campo magnético en la misma dirección que el anterior, el colapso no sucederá, porque el estado ya había sido determinado, y por tanto, tiene un 100% de probabilidad de que al atravesar el campo magnético, el estado final sea el mismo que el inicial. En ningún caso podrá cambiar al estado contrario.

Supongamos en cambio, que un electrón desplazándose en el eje y, con un spin arriba tras atravesar un campo magnético no uniforme en el eje z, atraviesa otro dispositivo de Stern – Gerlach , pero con el campo magnético en el eje x. En este caso, el spin fue determinado respecto del eje z, pero no lo fue respecto del eje x, y por tanto se vuelve a la situación inicial: habrá un 50% de probabilidad de que el spin se oriente hacia un sentido u otro en el eje x.

“Dios no juega a los dados”

(Albert Einstein a Niels Bohr acerca de la mecánica cuántica)

Esta interpretación de la mecánica cuántica fue principalmente expuesta por el danés Niels Bohr, de ahí que lleve el nombre de interpretación de Copenhague. Su característica principal es que está basada en probabilidades, pero que son propias de la naturaleza.

La descripción de gases, o de sistemas con muchas partículas, está basada en la estadística, probabilidades y azar. Pero son probabilidades basadas en la ignorancia, e imposibilidad práctica de manejar un número elevado de ecuaciones, que se usan para hallar valores promedio que determinan las propiedades del sistema.

La mecánica cuántica en cambio es probabilística por naturaleza. No hay elementos desconocidos que nos impidan determinar su propiedades, sino que esas probabilidades son las únicas propiedades que podemos conocer. Esta visión de la naturaleza de la interpretación de Copenhague no le gustaba, entre otros, a Einstein, quien durante tiempo intentó demostrar que debían existir variables ocultas que impedían conocer y determinar propiedades más allá de sus probabilidades. Cosa que hoy día aún no ha sido posible demostrar.

“Deja de decirle a Dios lo que debe de hacer”

(Niels Bohr respondiendo a Albert Einstein)

La mecánica ondulatoria de Schrödinger

La mecánica matricial de Heisenberg fue un éxito ya que de ella se podían deducir los resultados ya conocidos de física cuántica, pero partiendo de principios generales válidos para cualquier sistema. Sin embargo, el desarrollo es farragoso, y bastante abstracto, lo cual hacía a la teoría de Heisenberg poco atractiva.

A Erwin Schrödinger (1887-1961) le desagradaba tanta abstracción, y prefirió desarrollar la mecánica a través de conceptos más reales. Partió de la teoría de Louis de Broglie, en la que se podían considerar a las partículas como ondas. Si este era su comportamiento (al menos uno de ellos), entonces matemáticamente ese sistema debía ser descrito por ecuaciones correspondientes a ondas.

Gracias al desarrollo matemático de Joseph Fourier (1768-1830), se sabe que cualquier función puede ser descrita como una combinación infinita de funciones seno y coseno: que son precisamente las que describen a las ondas más simples. De esta forma, un sistema y su evolución, se describe por una suma de ondas. La mecánica de Schrödinger es llamada así mecánica ondulatoria, y se resume en una única ecuación en derivadas parciales, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

(Versión simplificada, donde Y es la función de onda que describe el sistema, y V(x) es la energía potencial del sistema. La ecuación se puede generalizar a las 3 dimensiones del espacio, usando geometría cartesiana, cilíndrica o esférica)

Pero, ¿qué significa esta ecuación?

La mecánica trata de hallar la evolución de un sistema, partiendo de los factores que lo afectan. La mecánica de Newton trata de hallar la trayectoria en el espacio de un móvil, sabiendo cómo actúan determinadas fuerzas a través de las tres leyes de Newton.

William Hamilton (1805-1865) desarrolló una mecánica equivalente a partir de conceptos distintos. En vez de tratar con el intuitivo concepto de fuerza (una fuerza produce un cambio en el movimiento de una partícula, una aceleración), usó el más abstracto y general energía. Un sistema posee una energía cinética debida a su movimiento. Cuando nada interacciona con el sistema, esa es su única energía. Sin embargo, cuando sí hay una interacción, hay un intercambio de energía a través de una energía potencial. Este intercambio es el que produce las fuerzas en la descripción de Newton.

La mecánica de Hamilton en primer lugar determina cual es la energía total del sistema: la suma de energía cinética, y potencial. Esta cantidad recibe un nombre: el hamiltoniano. Para hallar la trayectoria se hace uso de un principio general de la física: el principio de mínima acción, por el cual, la evolución de un sistema será tal que hará que su energía total sea la mínima posible. De todas las trayectorias posibles que pueda tener un móvil, realizará aquella que minimice su energía.

La ecuación de onda de Schrödinger sigue esta misma filosofía. El primer término del lado izquierdo de la ecuación se representa la energía cinética, mientras que el segundo la energía potencial: es el hamiltoniano, pero en versión cuántica.



Cuando un sistema no depende del tiempo, es un sistema estacionario, y la ecuación a resolver es ésta, llamada ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Mientras en la mecánica clásica de Hamilton trataría de hallar la función Y tal que el valor de E sea mínimo, la mecánica cuántica trata de calcular todas las funciones Y_n con su correspondiente energía E_n, ya que según el enfoque tomado por de Broglie y Schrödinger, y gracias también a el desarrollo matemático de Fourier, la descripción total del sistema es una combinación de todas estas funciones de onda, cada una con su propia energía.

Los operadores

Si vemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, matemáticamente es un problema conocido como de autovalores, y que ya había desarrollado Fourier: la solución a la ecuación son todas esas funciones (llamadas autofunciones) Y₁,Y₂,Y₃... tales que al aplicarles una serie de operaciones, resulta un número de veces E₁,E₂,E₃…(autovalor o valor propio) la misma función Y₁,Y₂,Y₃... Sólo esas funciones son válidas, y la solución general al problema es una suma de todas las autofunciones.

De esta forma, hay que hablar de operadores. La ecuación de Schrödinger, hemos dicho que representa la versión cuántica del hamiltoniano H, una cantidad que contiene la suma de energía cinética y potencial:


Si queremos asimilar las expresiones clásica y cuántica del hamiltoniano, entonces hay que identificar al momento lineal p con un operador que actúa sobre la función de onda calculando su derivada. La energía potencia, una función de la posición x, sería un operador que multiplica la expresión V(x) por la función de onda.

El significado físico de los operadores es el de calcular una magnitud observable en un proceso de medición. Más concretamente, dada una función de onda Y, suma de varias autofunciones (Y=AY₁+BY₂+CY₃...), el resultado es en realidad la probabilidad de que la medida se corresponda con un sistema en el estado Y₁, Y₂, ó Y₃... Por ejemplo, el operador hamiltoniano H, da como resultado observable la energía total del sistema E_n, de cada uno de los estados posibles, y la probabilidad medir tal valor .

La función de onda representa por tanto una probabilidad respecto al estado en que se encuentra el sistema, y una medida del sistema revela uno y sólo uno de estos estados, con una probabilidad determinada.

Este es uno de los pilares más importantes para la interpretación de la mecánica cuántica: antes del proceso de medición, el estado del sistema no está definido, sino que hay unas probabilidades de que tras realizar una medida, el resultado de la medición sea uno en concreto. Sin embargo, tras haber sido medido, el sistema permanece en ese estado determinado. Para un sistema dado, no es posible determinar qué estado se revelará en un proceso de medición. Sin embargo, sí se puede determinar la probabilidad de que ese resultado aparezca.

Mecánica matricial vs mecánica ondulatoria

Un resultado importante de la mecánica matricial de Heisenbserg era el principio de incertidumbre que aparecía durante el proceso de medida. El orden en que se hacen las medidas hace variar el resultado, de forma que si se miden posición y momento, la cantidad [x•p – p•x] es distinta de cero (y en particular, un número complejo). Este resultado sugería la necesidad de utilizar matrices que representen a x y p, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Desarrollemos ahora con los operadores x y p la diferencia xp – px aplicada a una función de onda Y.


Estos operadores, por tanto, tampoco poseen la propiedad conmutativa, sino que hay una diferencia distinta de cero, e igual a la obtenida por Heisenberg. Esta coincidencia sugiere por tanto que el tratamiento con operadores es equivalente al tratamiento con matrices . De hecho, los elementos que forman las matrices se pueden calcular a partir de los operadores y las funciones de onda.

La equivalencia entre ambas descripciones de la mecánica cuántica la demostró el británico Paul Dirac (1902-1984) en 1925

Mecánica cuántica y principio de incertidumbre

El descubrimiento de de Broglie acerca de la naturaleza ondulatoria de las partículas lleva asociado un fenómeno nuevo, que en el mundo clásico del sentido común, resulta sorprendente y en principio antiintuitivo.

Fue Werner Heisenberg (1901-1976) quien llegó a él, pero de una forma totalmente distinta. Hasta ese momento, el desarrollo de la física cuántica mezclaba la física clásica, con el añadido de postulados cuánticos, fruto de resultados experimentales. Sin embargo, un entendimiento total de la naturaleza requiere una teoría más amplia, de la que se deduzcan estos postulados; hay que desarrollar una mecánica cuántica.

La mecánica clásica parte de las tres leyes de Newton. A partir de ellas, es posible describir cualquier situación, y llegar a una ecuación de movimiento, es decir, una ecuación que al resolverla se obtiene la evolución en el tiempo del sistema estudiado. Es un sistema que vale tanto para describir la oscilación de un muelle, como la órbita de un planeta alrededor del Sol.

La mecánica cuántica trata de hacer exactamente lo mismo: partir de un punto común que sea capaz de describir la evolución de cualquier sistema a nivel cuántico. En vez de tratar cada sistema de forma particular (efecto fotoeléctrico, efecto compton, difracción de electrones, el modelo de Bohr para las órbitas), se trata de obtener el comportamiento de cualquier sistema general partiendo de unas ciertas bases.

En el desarrollo de esta mecánica, Heisenberg llegó a un resultado matemático bastante sorprendente. El desarrollo incluía unas operaciones matemáticas que representan la observación experimental del sistema. El resultado fue que si se hacían dos observaciones, por ejemplo de la posición y el momento cinético, el orden en que se hace influye en el resultado final. Matemáticamente, si se hace una observación A, y otra B, esto quería decir que A•B es distinto de B•A. De hecho, su diferencia (A•B - B•A) es un número complejo. Este resultado ocurre sólo para determinadas cantidades relacionadas, como la posición y el momento, o la energía y el tiempo.

Desde el colegio nos enseñan que la multiplicación tiene la propiedad conmutativa. Sin embargo, esto es válido cuando hablamos de números. Cuando se trata por ejemplo, de matrices, entonces esta propiedad no está asegurada. Así es como la mecánica de Heisenberg está basada en álgebra matricial, y de ahí que el desarrollo de Heisenberg se le llame mecánica matricial.

Si bien matemáticamente es posible entender que A•B no sea igual a B•A, ¿qué sentido tiene eso en el mundo real? Implica que el orden en que se realiza una medida, influye en el resultado final. Uno puede medir la posición de una partícula con una precisión determinada. Sin embargo, al medir el momento cinético, la precisión tiene un límite, y es imposible determinarla tan bien como se quiera. Aunque el fenómeno está relacionado con el proceso de medida y de experimentación, éste en realidad no tiene nada que ver. El experimento no limita la posibilidad de determinar con la precisión deseada los valores, sino al contrario, es la propia naturaleza la que limita la precisión del experimento. Incluso con sistemas de medición idealmente perfectos.

El principio de incertidumbre de Heisenberg se puede comprender teniendo en cuenta qué es en realidad un proceso de observación experimental. Un sistema se observa a través de un sistema de medida. Este sistema, para poder dar algún tipo de medida necesita interaccionar con el sistema de observación, es decir, requiere intercambiar una energía, y ese cambio de energía, o de estado del medidor, se relaciona con alguna propiedad del sistema de estudio.

Sin embargo, al igual que el medidor sufre un cambio de estado, el sistema observado cambia igualmente de estado, por lo que al hacer otro tipo de medida sobre el sistema, éste ya no está en el mismo estado, y esta segunda medida no es independiente, sino que depende de la primera.

El determinismo que hasta ese mismo instante era incuestionable, decía que conocidas las condiciones iniciales, era posible determinar con total exactitud la evolución de un sistema. Sin embargo, Heisenberg demostraba que es imposible conocer con toda la precisión que se quiera las condiciones iniciales de un sistema, y por tanto, no es posible determinar su evolución.

Al principio del desarrollo de la física cuántica, calcular la trayectoria de un electrón alrededor de su núcleo carecía de sentido porque no había medios para observarlo experimentalmente. Louis de Broglie hace dudar de la posibilidad de hacerlo al afirmar que el electrón es una onda. Pero Heisenberg elimina totalmente esta posibilidad, ya que se hace imposible siquiera imaginar un experimento capaz de medir la posición y velocidad del electrón con la precisión necesaria.
El principio de incertidumbre es parte de la naturaleza. Pero al igual que no se observa movimiento ondulatorio de partículas en el mundo clásico, el principio tampoco se manifiesta en estas escalas. Si tomamos por ejemplo un electrón, y medimos su posición con una indeterminación de 1 angstrom (el tamaño de un átomo), entonces la indeterminación en la velocidad será de:

es decir, si se midiera la velocidad del electrón, y estuviera en torno al 5% de la de la luz (para poder ignorar efectos relativistas), entonces la indeterminación representa un 46% de la medida. Si la velocidad medida fuera mucho menor, este porcentaje sería mucho mayor. Y si la medida diera un valor por debajo de la propia indeterminación… es lo mismo que no saber absolutamente nada acerca de su velocidad.

Esa misma indeterminación de un angstrom en la posición de la Tierra (Masa~10²⁴ Kg) en su órbita alrededor el Sol, da una indeterminación en su velocidad de 6•10^-48 m/s. La velocidad de traslación de la Tierra es de 30.000 m/s, por lo que una indeterminación del orden de 10^-48 m/s es insignificante, representa del orden del 10^-51% de la medida: se puede decir que la posición y velocidad de la Tierra se hallan perfectamente determinadas.

Werner Heisenberg recibió el premio Nobel en 1932

Anexo

Heisenberg y los rayos Gamma

Física cuántica: las partículas que son ondas

Durante siglos se especuló, y se argumentó a favor y en contra, sobre si la luz era una partícula o una onda. La aparición de la teoría electromagnética de Maxwell parecía cerrar definitivamente el debate a favor de la teoría ondulatoria, pero que sin embargo volvió a abrirse con el descubrimiento de los cuantos de energía.

Se podría decir que la reapertura del debate no era una novedad. Lo que si supuso una gran novedad fue la hipótesis formulada por Louis Víctor de Broglie (1892-1987), según la cual, una partícula, como un electrón, puede comportarse igualmente como una onda, y sufrir los mismos fenómenos, como los de interferencia y difracción. Por esta contribución recibió el premio Nobel en 1929.

Partiendo de la ecuación más famosa de Einstein, dedujo la expresión para el momento cinético de un fotón, y su relación con su longitud de onda. A partir de ahí, supuso que esa fórmula era general, de forma que para una partícula, con una masa m, desplazándose a una velocidad v, se le podía asociar una longitud de onda.

Según este resultado, una partícula tiene una longitud de onda menor cuanto mayor es su velocidad o su masa. La difracción de una onda ocurre cuando las ondas se encuentran en su cambio objetos de un tamaño comparable a su longitud de onda. En el caso de un electrón, cuya masa ronda los 9·10^-31 kg, a velocidades tan altas como el 1% de la velocidad de la luz (3·10⁶ m/s), el electrón posee una longitud de onda de l=2.45 å. Este es el tamaño típico entre átomos en un sólido, por lo que era de esperar que los electrones sufrieran este fenómeno.

Davisson y Thompson de forma independiente, confirmaron la interferencia y difracción de electrones, provocándose así una situación curiosa, dado que si en 1906 J.J. Thomson recibía el Nobel por demostrar que el electrón era una partícula, en 1937 su hijo G. P. Thompson(1892-1975) lo recibió (compartido con Davisson) por demostrar experimentalmente que el electrón es una onda.

Si todas las partículas tienen una longitud de onda asociada, si se pueden comportar como una onda. ¿Por qué entonces no se ve este comportamiento en la vida diaria?. La razón está en que la longitud de onda depende de la masa y velocidad de la partícula. Una pelota cualquiera, de apenas unos gramos (pongamos 200 gr), a una velocidad de 1 m/s, tiene una longitud de onda de l=3·10^-33 metros (Tamaño de un átomo: 10^-10 m. Tamaño del núcleo atómico 10^-15 m). Es una longitud de onda demasiado pequeña como para encontrar un obstáculo que la difracte. De esta forma, en el mundo clásico en el que vivimos, es imposible detectar comportamientos ondulatorios. Sólo cuando bajamos al nivel cuántico de los electrones es posible ver estos fenómenos.

Anexos

La cuantización de de Bohr
Difracción de electrones

El microscopio electrónico

Física cuántica: ondas que son partículas

La mecánica cuántica da un marco teórico para el desarrollo de la estructura de la materia, empezando por la misma estructura del átomo. En gran parte, la mecánica cuántica se desarrolló paralelamente a esta última, aunque sin embargo, es mucho más amplia, y sirve en realidad para describir cualquier fenómeno en la escala espacial atómica.

Al igual que ocurre con la estructura atómica, la cuántica se desarrolla a partir de observaciones dispersas, en un principio relacionadas con la luz, y la interacción de ésta con la materia.

La radiación de cuerpo negro y la catástrofe ultravioleta

A finales del siglo XIX, el electromagnetismo de Maxwell había demostrado que la luz visible eran ondas electromagnéticas. Más aún, que existían otro tipo de ondas de igual tipo, cuya única diferencia era la frecuencia de oscilación. Todas estas ondas cumplen una relación entre su frecuencia ν, y su longitud de onda λ, de forma que

λν=c

siendo c la velocidad de propagación de la onda, en este caso, c=2.997·10⁸ m/s. Hablar de frecuencias, o hablar de longitud de onda es equivalente, si bien, el cambio en una de ellas implica un cambio en sentido contrario de la otra: un aumento de frecuencia es equivalente a una disminución de longitud de onda, y viceversa.

Cuando se calienta un cuerpo, éste emite radiación. El espectro de esta radiación, es decir, la cantidad de radiación que emite a cada frecuencia concreta, puede depender de la temperatura y del tipo de cuerpo que lo emite: cuando se calienta una barra de hierro, va cambiando de color, del rojo, al rojo intenso, amarillo y al blanco. Esta luz es emitida por el propio hierro candente.

Sin embargo, existe un tipo cuerpo del cual no importa su tamaño, forma o material, sino que sólo depende de la temperatura concreta a la que está. Un cuerpo así, absorbe toda la radiación que le llega, de ahí que se le llame cuerpo negro. Un ejemplo de cuerpo negro es una cavidad, con un pequeño orificio por donde entra la radiación. Dentro del cuerpo, la radiación rebota en sus paredes sin volver a salir por el agujero por el que ha entrado. Sin embargo, por el hecho de estar a una temperatura, éste agujero emite su propia radiación. Esta es la radiación de cuerpo negro, que trataban de caracterizar los físicos de finales del Siglo XIX.

Aunque el cuerpo negro más importante que conocemos es el Sol: una bola de gas a altísima temperatura, que genera un espectro de luz equivalente a un cuerpo negro a 5500 K.

Los científicos partían de supuestos ya conocidos de termodinámica y mecánica estadística: un conjunto de moléculas es imposible describirlas a través de la trayectoria e interacciones entre cada una de ellas (¡en un recipiente hay del orden de 10²³ moléculas!) , así que se recurría a calcular el valor medio, y distribución de sus velocidades, para poder calcular magnitudes medibles como la temperatura y presión.

Dentro de una cavidad como el cuerpo negro, hay multitud de ondas, por lo que Rayleigh (1842-1919) y Jeans (1877-1946) siguieron el mismo esquema: la energía total se repartía por igual en todas las ondas posibles. El resultado explicaba razonablemente bien la zona de baja frecuencia (el infrarrojo), pero sin embargo, predecía un aumento de la cantidad de radiación de mayor frecuencia, algo que supondría la emisión de una cantidad infinita de energía de cualquier objeto. A este resultado se llamó la “catástrofe ultravioleta”

Max Planck (1858-1947) revisó en 1900 la forma de hacer el cálculo. La equipartición de energía supuesta por Rayleigh y Jeans suponía que a cada frecuencia le corresponde la misma cantidad de energía. Planck revisó este concepto hasta deducir que a cada onda le corresponde una cantidad de energía proporcional a su frecuencia (E=hν)

Según el desarrollo de Rayleigh y Jeans, se podría excitar un infinito número de ondas en una cavidad, ya que siempre habrá alguna cuya longitud de onda sea lo suficientemente corta como para entrar en ella, y por la equipartición de energía, se asegura que siempre habrá energía suficiente para excitarla, por mínima que sea, no hay límite en el número de ondas posibles dentro de la cavidad. Además, al entrar más fácilmente en la cavidad ondas de longitud corta que larga, se acumulan más de éstas, es decir, se acumula más energía en la región ultravioleta, o de alta frecuencia: la catástrofe ultravioleta

En cambio, con la hipótesis de Planck, ondas de mayor frecuencia (= menor longitud de onda), se necesita una cantidad de energía mayor, de forma que llega un momento en que no hay energía suficiente para poder excitar ondas con frecuencias altas. Es decir, existe un número limitado de ondas que se pueden excitar en la cavidad. La constante de proporcionalidad entre la energía y la frecuencia, resultó ser muy pequeña: h=6.62·10^-34 [J•s] , y hoy se denomina constante de Planck.

La implicación del resultado es más profunda que sólo la explicación del espectro de un cuerpo negro. La energía de cada onda se halla cuantizada. Cada frecuencia necesita una energía mínima para poder excitar su vibración. De esta forma, la energía total de una frecuencia (E_ν) será un número entero de veces (n) la energía mínima hν. Es decir, E_ν=nhν.

El efecto fotoeléctrico

Otro problema de interacción luz-materia daría nueva evidencia del comportamiento corpuscular de la radiación. Philipp von Lennard (1862-1947) estudiaba capas finas de metales al ser iluminados por radiación.

En un marco clásico, la luz debía excitar los electrones, y llegar a arrancarlos al aumentar la intensidad de la radiación. Al aumentar la intensidad, debía además comunicar a los electrones arrancados una mayor energía cinética. Pero encontró en cambio que necesitaba una frecuencia mínima para poder arrancar electrones del metal. Por debajo de esa frecuencia mínima, era imposible arrancar electrones, sin importar la intensidad de la luz. Más aún, la energía cinética de los electrones arrancados tampoco dependían de intensidad, sino de la frecuencia igualmente.

Albert Einstein (1879-1950), en uno de sus célebres artículos en su año maravilloso de 1905, dedujo la solución a este problema. De forma independiente a Planck, llegó a la misma conclusión acerca de los cuantos de radiación, incluyendo el mismo valor para la constante h. Cuando uno de estos cuantos llegaba a la superficie del metal, un electrón absorbe su energía, y si ésta es suficiente como para abandonar el metal, lo hace. En caso contrario, no es emitido. De esta forma, sólo radiación con una energía mínima (que depende del material) es capaz de arrancar electrones. Más aún, al ser una energía fija, los electrones pierden una parte para salir del material, y la sobrante (también una cantidad fija) se emplea para adquirir una velocidad, o energía cinética.

Con una radiación por debajo de la frecuencia mínima, el aumento de la intensidad de la radiación, es decir, un mayor número de cuantos de luz, no provoca que se arranquen electrones porque ningún cuanto tiene la energía mínima. Por otro lado, radiación con energía suficiente, produce electrones con una energía cinética fija, y un aumento de la intensidad, provocará que se arranquen más electrones, pero todos con igual energía cinética. Es al aumentar la frecuencia de la luz cuando aumenta la energía cinética de los electrones arrancados.
Este enfoque es muy fácilmente entendible si se piensa en la radiación como partículas de energía fija que chocan con los electrones para arrancarlos del material.

El efecto Compton

El último de los experimentos que ponen de relieve las propiedades corpusculares de la luz es la dispersión Compton, descubierta por Arthur Compton (1892-1962), cuando trabajaba con la dispersión de rayos X. En la dispersión, detectó cómo la longitud de onda de la radiación dispersada aumentaba, es decir, la radiación perdía energía. Una vez más, el fenómeno es comprensible si se toma a la radiación como partículas, y se analiza el choque contra otra partícula, teniendo en cuenta la conservación de energía y momento.


El cuanto de radiación posee una energía dada por su frecuencia. Igualmente, posee un momento cinético, como el de cualquier partícula, que depende de su longitud de onda. En el choque, parte de la energía y del momento cinético se transmiten a la partícula. El resultado es una pérdida de energía de la radiación, que se revela en una disminución de su frecuencia, o de aumento de su longitud de onda.

La explicación a estos fenómenos se basan en la cuantización de la energía de la luz, que la hace comportarse como una partícula, bautizada como fotón. En la próxima entrada veremos cómo la materia puede comportarse a su vez como una onda

Anexos

- El efecto fotoeléctrico
- El efecto Compton

Los números cuánticos

La descripción del átomo de hidrógeno por parte Bohr fue un gran éxito, a pesar de estar lastrado con una serie de suposiciones ad hoc, fruto de observaciones empíricas. También supone el comienzo de una nueva forma de describir la naturaleza.

La física (y la ciencia en general) trata de describir la naturaleza en base a fenómenos observables y mensurables. Las órbitas planetarias, por ejemplo, son descritas en función de una distancia, y orientación respecto de un punto fijo (el Sol) para cada instante de tiempo: se describe cual es su trayectoria. La descripción de Bohr, sin embargo, a pesar de considerar el átomo como un pequeño sistema solar (con la particularidad de la cuantificación de la órbitas), no obtiene estas trayectorias. Se centra en cambio en obtener las energías que poseen los electrones en sus órbitas, y como cambia ésta, porque al final, es este fenómeno el que se puede observar y medir experimentalmente (el desarrollo posterior de la mecánica cuántica puso de manifiesto que ni siquiera tiene sentido calcular la trayectoria del electrón). Así, la descripción de un electrón en el átomo, no consiste en saber su trayectoria, sino cual es su estado, la órbita que ocupa, información que se halla contenida en el número cuántico n.

El modelo atómico de Bohr explicaba a la perfección las líneas de absorción y emisión de un átomo de hidrógeno. Sin embargo, tenía problemas para átomos con más electrones. E incluso, se descubrieron nuevas líneas en el átomo de hidrógeno para las que no había solución.

Número azimutal

Arnold Sommerfeld (1868-1951) propuso la inclusión de nuevos números cuánticos. Del movimiento planetario, se conoce que la forma más general de una órbita es la elíptica. Sommerfeld propuso el número cuántico azimutal, l, como una medida de cómo de elíptica era la órbita, su excentricidad. Sommerfeld encontró que el valor l variaba desde l=0 hasta el valor l=n-1, siendo l=0 una órbita perfectamente circular. De esta forma, el número n ya no representa una órbita, sin que determina la distancia respecto al núcleo, designa una capa, que puede contener desde l=0 hasta l=n-1 órbitas, todas a la misma distancia del núcleo

Por ejemplo, para la primera capa (n=1), el único valor posible de l es 0. Es decir, la primera capa contiene una única órbita que es circular. La capa n=2 contiene las 2 órbitas l=0 (circular), y l=1 (elíptica), para n=3, l=0, l=1 y l=2, (3 órbitas con distinto grado de excentricidad), y así sucesivamente.

Número magnético

Pieter Zeeman (1865-1943) descubrió en 1890 el efecto que lleva su nombre. Descubrió que en un gas dentro de un campo magnético, algunas líneas se desdoblaban, y aparecían tripletes en torno a una línea habitual. Tras la inclusión del número azimutal, Bohr realizó nuevos cálculos introduciendo el número cuántico magnético, m.

Un electrón girando alrededor de un núcleo es una corriente eléctrica, y como tal, produce un campo magnético perpendicular al plano en que se mueve el electrón. Es un pequeño imán. Al aplicar un campo magnético externo, este imán se orienta, pero esta orientación se halla igualmente cuantizada, de forma que los valores que puede tomar m van desde m=–l, hasta m=l.

La aparición de más y más lineas, y de más y más números cuánticos, no es sino la prueba de una estructura fina en la ordenación de los electrones en el átomo. Los electrones se van colocando en capas, que se diferencian en una cantidad de energía determinada. Dentro de cada capa, existe una diferenciación de energías entre cada órbita, pero que es mucho menor que la que hay entre capas; de ahí que se descubrieran sólo cuando se aumentó la precisión de los experimentos. Más aún, el efecto Zeeman revela la existencia de órbitas que pueden separarse en energía al aplicar un campo magnético, revelando una estructura interna de las órbitas.

Número de Spin

Tras la inclusión de los números azimutal y magnético, quedaban explicados los tripletes del efecto Zeeman. Sin embargo, el efecto Zeeman también presentaba otras colecciones de líneas (dobletes), que no eran explicadas con estos números, que se llamó efecto Zeeman anómalo.

Wolfang Pauli (1900-1958) intuyó la existencia de un cuarto número cuántico, aunque no fue capaz de concretar la idea. Fueron en cambio George Uhlenbeck y Sam Goudsmit quienes propusieron el número cuántico de spin, s, cuya particularidad es que no es debido a la órbita ocupada en el átomo, sino a la propia rotación del electrón sobre sí mismo.

La existencia de un momento angular (rotación) intrínseco del electrón quedó evidenciada con el célebre experimento de Stern y Gerlach: un haz de electrones atraviesa un campo magnético no uniforme. La interacción del campo magnético con el momento angular produce que el electrón se desvíe de su trayectoria. Según la física clásica, cada electrón tendría una orientación del momento angula respecto del campo magnético al azar, de forma que cada uno sufriría una desviación distinta, y el haz se abriría de forma continua sobre un área. Sin embargo, lo observado era que el haz se divide en dos haces perfectamente definidos.

Este resultado sugiere que el momento angular intrínseco del electrón está cuantizado, y sólo puede tener dos valores posibles de s: +1/2 y -1/2, que más coloquialmente se suelen denominar spin arriba o spin abajo. Este valor de spin convierte a la rotación en un fenómeno sumamente extraño. El spin viene describir la simetría de la rotación.

Toma un as de la baraja. Si lo rotas 360º volverá a su posición inicial. Esto equivale a un spin s=1. Si coges un rey de una baraja francesa, al girarlo 180º (media vuelta), estará igual que en su posición inicial. Este es un ejemplo de spin s=2.

El spin s=1/2 quiere decir que es necesario girar 720º (dar dos vueltas) para recuperar la posición inicial. Es una rotación muy difícil de imaginar. Lo más parecido es un movimiento como el que sigue:

1- Coge un electrón en la palma de la mano
2- Gira la mano hacia dentro, pasando el electrón por debajo del brazo hasta completar la vuelta. Ahora el electrón ha dado una vuelta, pero el brazo está en una posición forzada. El conjunto entero electrón-brazo no está en la misma posición que al inicio.
3- Sube el brazo (sin tirar el electrón), a la altura de la cabeza a la vez que giras la mano.
4- El electrón y el brazo están ahora en la misma posición que al inicio, para lo cual el electrón ha dado dos vueltas. Esto sería algo parecido al spin s=1/2

Con la inclusión de este número cuántico, se completa la descripción de los estados posibles de los electrones en los átomos. La combinación de estos cuatro números identifican el estado y la energía que posee, y es posible explicar cualquier línea de absorción o emisión como la transición de un electrón desde un estado nlms a otro estado n’l’m’s’.

El modelo de Sommerfeld-Bohr es capaz de explicar las observaciones experimentales. Sin embargo, está basado en unos postulados que no están demostrados, la cuantización de diversas cantidades.

Hasta este momento, se puede hablar de una física cuántica, que simplemente aplica unas reglas de cuantización a la física y mecánica clásicas. La aparición de la mecánica cuántica permite profundizar los conceptos, y hacer surgir por sí solas, estas reglas de cuantización, además de una serie de efectos e implicaciones nuevas, sin equivalente en el mundo clásico.

Anexo

Configuración electrónica de los átomos

La estructura atómica: luz y física cuántica

Rutherford pudo imaginar la estructura básica de los átomos a través de interacciones entre materia. Sin embargo, ha sido la interacción entre luz y materia la que más pistas ha dado para comprender el átomo. Varias de estas pistas se conocían desde hace tiempo, pero sin embargo, eran resultados dispersos que hasta el descubrimiento del cuanto no se supo encajar.

Espectros de emisión y absorción

La espectroscopia es una técnica que se empieza a desarrollar en el siglo XVIII. La luz blanca está compuesta de distintos colores. Cuando se perciben todos juntos dan esa apariencia blanca. La espectroscopia descompone la luz en cada uno de los colores que la componen, muestra su espectro. Esta técnica se usó para identificar distintos elementos en gases a través de espectros de emisión y absorción.

Para obtener un espectro de emisión, se somete a alta temperatura un gas para que emita luz. En un espectro de absorción, un haz de luz blanca atraviesa un recipiente con el gas frío. En ambos casos, la luz final (emitida o que ha atravesado el gas) pasa por un prisma y se descompone en sus colores. En el caso de la emisión, el espectro descompuesto tan sólo lo forman unas líneas estrechas de un sólo color. En el espectro de absorción, el espectro está casi completo, mostrando todos los colores, excepto por unas líneas más oscuras, que se corresponden con la misma longitud de onda que las que se ven en la emisión del mismo elemento.

La descomposición del espectro de cada gas es única, de forma que es posible identificar elementos. J. von Fraunhofer (1787-1826) registró el espectro de la luz del Sol, en vez de la de un gas. Observó cómo existían líneas más oscuras que otras. Es decir, tomó un espectro de absorción, siendo el “gas” a analizar el propio Sol. Posteriormente, Gustav Kirchoff (1824-1887) demostró que algunas de esas líneas oscuras coincidían con líneas del sodio y otros elementos, mostrando así que el Sol está compuesto por átomos idénticos a los que hay en la Tierra.

Sin duda alguna, estos espectros de emisión y absorción estaban revelando aspectos interesantes de la estructura interna de los átomos. Sin embargo, el conocimiento disponible aquel entonces no era suficiente para poder establecer una relación clara y coherente.

Las líneas de Balmer

Los científicos se centraron en las líneas de emisión y absorción del hidrógeno, por ser el más simple. Johann J. Balmer (1825-1898), matemático suizo, consiguió establecer una relación matemática que reproducía las frecuencias de luz observadas, f.Lo interesante de la relación era que empleaba números enteros, n_i y n_f:



(donde R es la constante de Rydberg, R=3.2867e15 s^-1)

A pesar de no entender lo que realmente significaba esta fórmula, Balmer consiguió describir las líneas visibles del hidrógeno, cuando n_f=2, lo que se llama la Serie de Balmer, y predecir la existencia de otras series, que posterioremente se confirmaron: para n_f=1 (serie de Lyman, líneas de ultravioleta), n_f=3 (Serie de Parchen, líneas de infrarrojo) y n_f=4 (serie de Brackett, en el infrarrojo)

La mecánica cuántica

El átomo de Rutherford suponía que los electrones giraban alejados de alrededor de su núcleo atómico, como si de un sistema solar se tratara. Este modelo preveía que los átomos emitieran radiación de forma continua, de acuerdo con el electromagnetismo de Maxwell, perdiendo energía y cayendo en espiral hasta su desintegración. El modelo era un buen avance, ya que definía la estructura del átomo, en concordancia con sus experimentos de bombardeo de partículas, pero no era correcto, y tampoco asomaba por ninguna parte ni un indicio que permitiera deducir la fórmula de Balmer.

1900 supone un gran descubrimiento: los cuantos de la radiación. Un cuerpo negro se define como aquel capaz de absorber toda la radiación incidente, sin reflejar absolutamente nada. Por otro lado, cualquier cuerpo, por estar a una temperatura determinada, emite radiación, y en particular, para un cuerpo negro esta emisión sólo dependía de su temperatura, y no de su forma o tipo de material. La radiación emitida por este cuerpo negro traía de cabeza a los científicos de la época, porque no eran capaces de explicarla.

Max Planck (1858-1947) encontró una relación matemática que explicaba la emisión, pero para lo cual necesitó una hipótesis por aquel entonces extraordinaria: en un espectro de radiación electromagnética como la del cuerpo negro, la energía no se repartía por igual, sino que a cada frecuencia le corresponde una cantidad fija (un cuanto), proporcional a su frecuencia, y por tanto, la energía total para una frecuencia determinada, es un múltiplo entero de esta energía mínima. Una frecuencia f, tiene una energía asociada hf (siendo h la constante de Planck, h=6.62e-34 J•s). Una fuente de luz que sólo emita en esa frecuencia, emitirá una energía total que es un múltiplo entero de hf: emitirá una energía 1•hf, ó 2•hf, ó 5•hf, etc, pero nunca emitirá 0.5•hf1, ó 2.45•hf1.

El átomo de hidrógeno de Bohr

Planck demostró que la energía de las ondas electromagnéticas estaban cuantizadas, eran múltiplos enteros de una energía mínima, un cuanto. Por otro lado, los espectros de emisión y absorción se podían describir por una fórmula que usaba números enteros. Fue el físico danés Niels Bohr (1885-1932) quien tomó estos datos aparentemente inconexos, para formular su modelo de átomo.

Bohr estaba de acuerdo con Rutherford en que los electrones debían girar alrededor del núcleo; pero tenían que existir ciertas condiciones para evitar su destrucción. En el átomo de Rutherford, no había restricción alguna, cualquier órbita era posible. La hipótesis de Bohr fue que sólo podían existir ciertas órbitas, aquellas tales que su momento angular fuera un múltiplo entero de la constante de Planck. Es decir, la distancia al núcleo a las que puede orbitar un electrón esta cuantizada con un valor mínimo. Además, añadió como un postulado que los electrones en estas órbitas no emitirían radiación.

Con este modelo de átomo, los electrones que cambian de órbita deben ganar o perder energía con un valor muy concreto, que dependía de la órbita inicial, y la órbita final. Al desarrollar estas ideas, Bohr llegó a la fórmula de Balmer. El átomo de Bohr describe los electrones del átomo de hidrógeno en torno a un único número entero n, que indica la órbita que ocupa. El significado de la fórmula de Balmer es que una transición desde un nivel inicial n_i, hasta un nivel final n_f absorbe radiación cuando un electrón sube a una órbita superior (n_f mayor que n_i), o emite radiación si la órbita final está por debajo de la inicial (n_f menor que n_i)

La frecuencia (o energía) de esta radiación tiene que ser la exacta para poder ser absorbida. Si es mayor o menor, no lo será. De igual forma, la energía emitida será siempre la misma. El conjunto de ondas electromagnéticas que se podían emitir o absorber es un conjunto discreto, tal y como se venía observando en espectros desde el Siglo XVIII.

El átomo de Bohr partía de la física clásica, al considerar los electrones como partículas que orbitan alrededor de un núcleo, y les aplicaba los primeros conceptos de física cuántica. Introducía así el concepto de número cuántico, el número n, que identifica la órbita en la que se halla el electrón. El modelo explicaba a la perfección el átomo de hidrógeno, es decir, un átomo con un solo electrón. Pero no era tan exacto para átomos de más electrones. Para ello se necesitó introducir más números cuánticos, que describían otro tipo de características de las órbitas que Bohr no contemplaba.

Anexos

Por la (relativa) simplicidad de los cálculos teóricos, añado en entradas aparte para quien le pueda interesar:
- Cálculo del radio de las órbitas de Bohr
- Deducción de la fórmula de Balmer a partir del átomo de Bohr

La estructura atómica: los modelos clásicos

Átomo es una palabra de origen griego que significa "indivisible". Siempre se ha pensado que la materia estaba compuesta por partículas indivisibles, ladrillos fundamentales. Hoy día, lo que llamamos átomo sí puede dividirse en partículas más pequeñas, que se organizan de una forma especial: un núcleo atómico compuesto de protones y neutrones, y una corteza exterior por donde se reparten los electrones.

Llegar a este modelo ha costado mucho tiempo, y en particular, al modelo que actualmente describe el átomo se llegó hace menos de 100 años, propiciado por el surgimiento de la mecánica cuántica. Hasta entonces, el conocimiento (bastante disperso) obtenido en experimentos que tocaban áreas aparentemente inconexas, sólo permitía ir aventurando una serie de características generales.

El conocimiento de la estructura interna del átomo y cómo se organizan los electrones en èl, ha permitido entender posteriormente los enlaces para formar moléculas, cual es la estructura de un material sólido, y cómo los electrones se reagrupan dentro de éste, para darle, entre otras muchas, unas propiedades eléctricas y ópticas específicas.

El bizcocho de Thomson

John Dalton (1766-1844) fue el primer científico en empezar a definir qué es un átomo. A principios del Siglo XIX ya se sabía que la materia se podía dividir hasta llegar a un nivel elemental, un tipo de materia homogénea. La sal, por ejemplo, se podía separar en dos elementos bien diferenciados: sodio y cloro. Dalton, identificó estos materiales elementales como formados por átomos, partículas indivisibles básicas de la materia, de tal forma que átomos de distintos elementos eran distintos entre sí, mientras que átomos del mismo elemento eran idénticos. Sin embargo, las investigaciones de Dalton se centraron más en la química, y las proporciones en que se mezclaban los átomos para dar lugar a moléculas, y no entró en la estructura de átomo.

A pesar de que se conocía la existencia de cargas positivas y negativas desde tiempos de Coulomb (1736-1806), no fue hasta 1897 cuando se descubrió la existencia del electrón. El estudio de Sir J. J. Thomson (1856-1940) acerca de rayos catódicos le llevó a concluir que éstos se trataban de partículas, con una masa muy pequeña (9•10^-31 Kg), y con una carga negativa, de 1.6•10^-19 Culombios. Este descubrimiento le valió un Nobel en 1906.

Thomson, junto con Lord Kelvin (1824-1907), propusieron un modelo del átomo que consistía en una esfera uniforme de carga positiva, en la cual se hallaban incrustados los electrones, como las uvas pasas en un bizcocho. El modelo, por primera vez en la historia, venía a decir que un átomo no era indivisible, sino que tenía una estructura interna. Este modelo debía cumplir las leyes físicas conocidas en aquel momento. Las cargas negativas se deberían mover dentro del gran bizcocho siguiendo la mecánica de Newton, e igualmente, debería emitir radiación de acuerdo con la teoría de Maxwell del electromagnetismo, desarrollada apenas 20 años antes.

El mini-sistema solar de Rutherford

1907 supuso un gran avance en la concepción del átomo. Después de que Thomson identificara los rayos catódicos con los electrones, otro tipo de radiaciones también se pudieron identificar como partículas concretas. En particular, se comprobó que la radiación alfa, son átomos de helio cargados positivamente debido a que han perdido sus electrones. Ernst Rutherford (1871-1937) trabajaba con sus estudiantes en la dispersión de partículas alfa a través de láminas finas de oro. Las partículas cargadas se lanzaban a gran velocidad contra la lámina, y al atravesarla, eran desviadas debido a los choques entre la partícula alfa y los átomos de oro. Según el modelo de Thomson y Kelvin, la dispersión (o desviación) que debían sufrir las partículas debía ser pequeña.

En cambio, Rutherford detectaba dispersión a ángulos mayores que los predichos por el modelo. Aunque el hallazgo más interesante fue hecho por dos de sus estudiantes (Marsden y Geiger), quienes detectaron que la dispersión también se producía hacia atrás (había retrodispersión). Esto era simplemente asombroso, ya que era como disparar una pistola a una hoja de papel, ¡y que la bala rebotara!

Estos fenómenos llevaron a Rutherford a proponer un nuevo modelo de átomo, donde se concentraba una gran cantidad de masa con carga positiva en un punto muy pequeño del espacio, mientras que los electrones orbitaban alrededor de este núcleo, como si fuera un pequeño sistema solar. Las partículas alfa (núcleos de helio) en este modelo, atraviesan la lámina de oro, desviándose debido a la repulsión eléctrica con los núcleos atómicos cuando pasan cerca de uno, sin verse apenas afectadas por los electrones. Sólo en las raras veces en que se acercan demasiado, la repulsión hace retroceder a las partículas alfa.



El modelo supone un gran cambio en la concepción de la materia, ya que revela que ésta es principalmente hueca. El tamaño del núcleo es del orden de 10^-15 metros (entre 1 y 10 femtómetros o Fermis [fm]), y contiene prácticamente toda la masa, mientras que el radio del átomo contando con los electrones es de 10^-10 metros (1 Angstrom [å]). Es decir, el núcleo representa tan sólo la cienmilésima parte (1/100.000) de un átomo. Por hacer una comparación más intuitiva, si un átomo tuviera un tamaño como la distancia de Madrid a Toledo (casi 100 km), su núcleo mediría entre 1 y 10 metros: tendría el tamaño de un coche.

La experiencia de Rutherford tiene además una importancia aplicada, ya que es la base para una técnica de análisis de materiales, la espectroscopía de retrodispersión de Rutherford (RBS, Rutherford Backscattering Spectroscopy), de la que hablaremos en algún momento.

Este modelo atómico, a pesar de ser simple y básicamente correcto para explicar la dispersión de partículas alfa, no estaba libre de problemas. En particular, según la teoría de Maxwell, el electrón al orbitar alrededor del núcleo debería emitir radiación de forma continua. De lo cual no había evidencia. Pero lo peor era que al emitir esa radiación, el electrón perdería energía, por lo que su órbita en realidad sería una espiral que finalmente caería al núcleo. Los átomos de Rutherford eran inestables.

La solución a estas fallas vino de mano de la mecánica cuántica, cuyo descubrimiento inicial por parte de Max Planck se había producido en 1900, en un tema en principio alejado de la estructura atómica, y de lo que hablaremos en la próxima entrada.