Estructura cristalina y arquitectura

Viene de: Estructuras cristalina sencillas

En 1958 se celebró una exposición universal en Bruselas. Para tal ocasión, se construyó una estructura metálica diseñada por André Waterkeyn que reproducía a escala la estructura básica de un cristal de hierro. Esta estructura es llamada "Atomium", y está situada al norte de la ciudad, cerca del estadio de Heysel.


El cristal de hierro posee una constante de red de 2.87 å, mientras que la altura del Atomium es de 103 metros, que corresponde a una diagonal del cubo. La diagonal de la estructura de hierro es de 4.97 å (4.97·10^-10 metros), por lo que el Atomium representa el cubo aumentado en 207 mil millones de veces.

Como se puede ver, es una estructura cúbica centrada en el cuerpo (BCC), con un total de 9 átomos, uno por cada esquina del cubo, y uno más en el centro.


Sin embargo, hemos de recordar que cada átomo de una esquina en realidad pertenece a todos los cubos vecinos, que son 8 cubos por cada esquina. Eso quiere decir que un mismo átomo colocado en una esquina, es compartido por 8 cubos vecinos, por lo que la fracción de átomo que pertenece a un sólo cubo es 1/8. Siendo 8 esquinas las que tiene un cubo, el número de átomos que tiene el cubo son 8·1/8=1 átomo. Junto con el átomo del centro, en total, son 2 átomos los que contiene la estructura unidad BCC.

El Atomium se puede visitar por dentro por el módico precio de 9 euros, y se puede acceder a 4 de sus "átomos" a través de escaleras bastante empinadas. Al átomo más alto se accede por ascensor, y contiene un resturante desde donde se puede observar la ciudad de Bruselas.


Aunque si quieren un consejo, no entren. Por dentro (en 2009) no hay nada interesante que ver (a menos que alguien considere interesante la historia política de los países africanos).

Diamantes y lapiceros

Viene de: Estructuras cristalina sencillas

El carbono es un elemento que puede cristalizar en fase sólida de dos maneras distintas: como red FCC, o en estructura hexagonal. Estos dos tipos de redes le confieren propiedades radicalmente distintas. Cuando cristaliza en red cúbica, es un diamante. Cuando cristaliza como red hexagonal, es más conocido por grafito, lo que forma las mina de un lapicero.

La red FCC tiene asociada una base con 4 puntos: uno en la esquina, y tres en el centro de las caras del cubo. Cada punto de red lleva asociado dos átomos de Carbono. El segundo se halla desplazado del primero en (a/4, a/4, a/4). Esta estructura es la responsable de que el diamante sea duro,brillante, y además sea un buen aislante eléctrico.




Por otro lado, el grafito presenta una estructura hexagonal, con una base de dos puntos: el origen de la red, y en (2/3,1/3,1/2). Esta estructura hace que el grafito sea un material frágil, oscuro y conductor de electricidad. Todo lo contrario que un diamante.

Este ejemplo tan extremo de las estructuras que puede adquirir el carbono, demuestra que en un material, la estructura es la clave de donde partir para entender sus propiedades.

Arte, cristales y patos

Viene de: La red cristalina

Maurits Escher (1898-1972), M.C. Escher, fue un artista holandés, cuyas obras más famosas incluyen escaleras y edificios imposibles. Parte de sus obras también tratan de la forma de rellenar el espacio, a través de la repetición de patrones, al igual que ocurre en un sólido cristalino. Es fácil identificar en sus obras el mismo tipo de estructuras que se dan en un sólido, aunque restringido a dos dimensiones.

Partiendo de una base de dos patos, incluidos en una estructura de paralelogramo, Escher puede rellenar todo un plano al repetir el paralelogramo. Los patos se acoplan uno con otro para no dejar huecos libres, y rellenar el plano hasta el infinito.

Enlace relacionado

Web oficial de M.C. Escher

Heisenberg y los rayos Gamma

Viene de: Mecánica cuántica y principio de incertidumbre

Heisenberg ideó un experimento teórico para explicar su principio de incertidumbre. Queremos ver un electrón a través de un microscopio de rayos Gamma. Esta radiación posee una longitud de onda del orden de 10^-12 metros.

El detector de rayos gamma tiene un tamaño determinado, que cubre un ángulo de visión 2α. La resolución de un sistema así determina el tamaño o distancia mínima que se puede distinguir, y está relacionada con la longitud de onda y el ángulo de detección:

Esta resolución nos determina la indeterminación en la posición. Si colocamos un electrón en una posición concreta, la radiación no lo distinguirá de otro que se halle a una distancia menor de Dx.

Cuando el fotón de rayos Gamma choca con el electrón, le comunica un momento cinético P_e, como ocurre en el efecto Compton. El rayo Gamma por su parte sale rebotado hacia el detector, pudiendo caer entre dos casos límite, marcados en el dibujo como p₁ y p₂

Ambos fotones dan la misma señal en el detector, aunque corresponden a un intercambio del momento cinético con el electrón distintos. En ambos casos, el momento cinético total en el eje x (electrón+fotón) es igual al momento del fotón p antes del choque:

Puede parecer que este resultado es debido a limitaciones del experimento. Pero no es así, sino que es el experimento el que está limitado por la naturaleza. Probemos el caso totalmente ideal en el que la resolución espacial del microscopio es perfecta, es decir,Δx=0, debido a que usamos una radiación no de rayos Gamma, sino de rayos cósmicos, u otros con una longitud de onda tan próxima a cero como queramos.

El resultado es que la indeterminación del momento se hace cada vez mayor hasta ser infinita: se hace imposible determinar el momento cinético. Cuanto menor es la longitud de onda del fotón, mayor es su momento cinético, y mayor es la cantidad que le puede transmitir al electrón tras el choque.

Supongamos ahora que disminuimos el tamaño del detector hasta hacerlo tan pequeño como queramos. Esto supone que el ángulo de detección se hace cero, y como consecuencia, la indeterminación del momento cinético se hace cero: hemos determinado con una precisión perfecta el momento cinético, Δp=0.

Sin embargo, la resolución espacial, la indeterminación en la posición Δx es la que se dispara a infinito: se hace imposible determinar la posición del electrón.

La cuantización de Bohr

Viene de: Física cuántica: las partículas que son ondas

Cuando hablábamos del modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, decíamos que necesitó imponer un postulado, es decir, una condición de la que no tenía demostración, pero que le permitía explicar los fenómenos observados. Esta condición era que los electrones se hallan orbitando en torno al núcleo en órbitas cuyo momento angular era un número entero de veces la constante reducida de Planck.

La hipótesis de De Broglie, y la evidencia de que un electrón es una onda permite resolver este escollo. Cuando una onda se halla confinada en un espacio acotado, sólo puede tener longitudes de onda del tamaño del espacio en que está. Una cuerda de guitarra, por ejemplo, puede vibrar con longitudes de onda múltiplo de su longitud. De igual forma, si lo aplicamos ahora a un electrón, su longitud de onda debe ser tal, que sea un número n de veces la órbita que recorre:

l_orbita=2pr=nl

La longitud de onda se puede expresar como el momento cinético:



El primer término corresponde al momento angular de la órbita del electrón, que es la condición de cuantización que Bohr necesitaba.

Ver también: Cuantización de las órbitas del átomo de Bohr

Difracción de electrones

Viene de: Física cuántica: las partículas que son ondas

En 1937 Clinton J. Davisson y George P. Thomson recibieron el Nobel por demostrar los patrones de interferencia de los electrones, probando así que esta partícula se comporaba como una onda. De Broglie había deducido una ecuación por la que el electrón poseía una longitud de onda que dependía de su velocidad.

Esta longitud de onda se halla en rango de unos pocos angstrom, la distancia que separan a dos átomos en un sólido. Esta longitud de onda corresponde además a fotones de rayos X, radiación que se ya se usaba para estudiar la estructura de la materia en cristalografía.

Si el electrón había de comportarse igual que una onda, era de esperar que siguiera las mismas ecuaciones que para los rayos X. Un sólido cristalino está dispuesto de una forma ordenada: los átomos se ordenan en planos equidistantes. Cuando una onda llega a un sólido, se refleja en cada uno de estos planos. Como cada plano está más profundo de la muestra, esto genera que cada reflejo recorra un espacio distinto. A la salida de la muestra, si la diferencia de estos caminos coincide con un múltiplo de la longitud de onda, entonces las interferencias que se producen son constructivas, y la señal se refuerza. Además de la distancia entre planos, la diferencia entre caminos depende del ángulo de incidencia de la onda, por lo que sólo hay determinados ángulos en los que la interferencia es constructiva.

Ésta teoría se resume en una ecuación, la Ley de Bragg:

La longitud de onda depende del momento cinético de los electrones. Este momento cinético se les comunica acelerando las partículas por un voltaje V, para que adquieran una energía cinética:

Para un mismo valor de voltaje de aceleración aparecen varios ángulos, correspondientes todos múltiplos enteros n. Davisson llevó a cabo sus experimentos sobre una lámina de Niquel. En vez de variar el ángulo de incidencia y detección, le era más cómodo variar el voltaje de aceleración, y mantener un ángulo fijo de detección a 50º.

Cada vez que el voltaje cumpla la relación deducida a partir de la Ley de Bragg, aparece un pico en la gráfica

El efecto fotoeléctrico

Viene de: Física cuántica: ondas que son partículas

En 1905 Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico, deduciendo de forma independiente a Planck que la radiación estaba compuesta por partículas, con una energía proporcional a su frecuencia, y contribuyendo así al establecimiento de la física cuántica. Por este desarrollo, Einstein recibió en 1928 el premio Nobel.

En el experimento, un haz de luz incide sobre un metal. La acción de la radiación es arrancar electrones de la placa, que con la aplicación de un campo eléctrico, se conducen hasta otra placa “colectora”, para registrar una corriente eléctrica en un amperímetro, una forma de cuantificar los electrones que son emitidos

Lo que se encontró experimentalmente fue que:

- Los electrones son emitidos cuando la frecuencia de la luz alcanza un valor mínimo. Por debajo de este valor umbral, no se emite ninguno, sin importar la intensidad de la luz.
- Si se aplica un voltaje de “frenado” V entre el colector y el emisor, los electrones pueden verse frenados por esta energía potencial. Al aumentar este voltaje, la intensidad disminuye, hasta llegar a un valor máximo por encima del cual ningún electrón llega al colector, y la intensidad se anula. Este valor máximo depende de la frecuencia, y es mayor, cuanto mayor es la frecuencia del radiación.

La explicación es sencilla si se considera a la luz como una partícula, un fotón. Tiene una energía determinada proporcional a su frecuencia. Ésta es absorbida por el electrón, que debe:
a) Primero salir del material. Esto le cuesta una energía, llamada función de trabajo.
b) Segundo, desplazarse. Con la energía sobrante tras gastar la necesaria para abandonar el material, el electrón se pone en movimiento con una energía cinética.

hν=Φ+E_c
E_c=hν-Φ

Dado un material, con una función de trabajo Φ un fotón debe al menos, proporcionar esa energía para arrancar el electrón. Si la energía del fotón es menor que la función de trabajo, el electrón no puede ser arrancado del material. Si la energía es mayor que ese valor, entonces la energía sobrante se transforma en energía cinética que mueve al electrón. En el caso límite en que toda la energía se emplea en superar la función de trabajo, pero no hay energía cinética para moverlo:

La frecuencia mínima para producir el efecto fotoeléctrico viene dada por Φ/h

Al aplicar el potencial eléctrico V de frenado, el electrón va perdiendo energía en su camino, de forma que sólo llegarán aquellos que recorran el trayecto más corto entre la placa emisora y el colector. Al aumentar el potencial de frenado, entonces se puede llegar al punto que ni siquiera éstos últimos sean capaces de llegar. El potencial entonces eliminando la energía del electrón en una cantidad igual a la energía cinética con que salió el electrón.


En el caso límite en que el voltaje frena todos los electrones, la energía cinética se iguala a la energía potencial creada por el voltaje de frenado, eV, siendo e la carga del electrón.

eV=E_c=hν-Φ

De esta forma quedan explicados los fenómenos observados con el efecto fotoeléctrico.

Efecto Compton

Viene de: Física cuántica: ondas que son partículas

Es quizás la muestra más evidente del comportamiento como una partícula de una onda electromagnética, ya que el análisis matemático del problema es exactamente igual al que si chocaran dos partículas, excepto porque las expresiones de la energía y momento cinético del fotón no incluyen la masa, sino la longitud de onda.

Un fotón, con longitud de onda λ, choca con un electrón en reposo. El fotón intercambia energía y momento cinético con él, y es desviado un ángulo θ, mientras que el electrón es igualmente desviado, además de adquirir una velocidad determinada.

Antes del choque, tanto la energía como el momento corresponden en su totalidad al fotón, ya que el electrón se halla en reposo. Tras el choque, el electrón adquiere un momento p_e=m_ev, que se relaciona con la energía cinética como E_c=p_e²/2m_e. La energía y el momento totales deben ser iguales al inicial, por lo que al igualar:

El cambio en la longitud de onda no es muy grande, es decir, λ es parecido a λ’. En estas circunstancias, el primer término del lado derecho es despreciable, y se puede ignorar, por lo que al final, la ecuación de Compton para la dispersión de fotones por choques con electrones es:

Configuración electrónica de los átomos

Viene de: Los números cúanticos

Una vez se sabe cómo describir a los electrones, falta saber cómo se ordenan en el átomo. Para ello, Pauli expuso el principio de exclusión, por el cual, dos electrones no pueden tener los mismos números cuánticos. De esta forma, no puede haber más de dos electrones en un mismo orbital. De los 4 números cuánticos, 3 de ellos describen el orbital concreto, mientras que el cuarto es referido sólo al electrón (spin arriba / spin abajo).

Los electrones van así ocupando cada uno de los orbitales, desde el de menor energía al que más.

Tradicionalmente, para referirse a un orbital concreto, se especifica el número principal n, seguido de una letra que representa al número azimutal l:

Para l=0, letra s
Para l=1, letra p
Para l=2, letra d
Para l=3, letra f

No se especifican los número m y s, ya que son orbitales equivalentes entre sí, que tienen igual energía, y sólo se observan cuando hay un campo magnético, por efecto Zeeman.

Para saber el orden de energía en que se rellenan los orbitales se emplea una “receta”: se construye una tabla con los orbitales, y se unen con flechas de esta forma:

Con esta receta, la ordenación es como sigue:

1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d 7p ...

Los electrones van rellenando estos orbitales, y hasta que no se llena uno, no se empieza el siguiente. Por ejemplo, un átomo de Sodio (Na), con 11 electrones, empieza por rellenar el orbital 1s con dos electrones. Los dos siguientes se colocan en la capa 2s. En la capa 2p caben 6 electrones, ya que concurren 3 orbitales de igual energía (los correspondientes a m=-1, m=0 y m=1), y el último electrón, se coloca en el orbital 3s. Al escribir la configuración electrónica, se indica con un superíndice el número de electrones que hay. La configuración del sodio es:

[Na]=1s² 2s² 2p⁶ 3s¹

El orbital 3s tiene aún hueco para un electrón más. Esto mismo le ocurre a los átomos de Hidrógeno, Litio, Potasio, Rubidio, Cesio y Francio: su orbital más externo es un orbital s, y tiene hueco para un electrón más. Esto les confiere unas propiedades químicas parecidas a todos ellos. Otros átomos tienen en común otros orbitales, y tienen por tanto otras propiedades.

La tabla periódica de elementos ordena a los átomos según su configuración electrónica, que les confiere sus propiedades químicas. Actualmente, la tabla llega hasta un poco más allá del elemento 105, cuyo orbital más externo (el que está aún llenándose) es el 5f.

Cuantización de las órbitas del átomo de Bohr

Viene de: La estructura atómica: luz y física cuántica

El átomo de Bohr supone un sistema clásico, donde un electrón gira en torno a una carga positiva. Al igual que una partícula en movimiento rectilíneo posee un momento lineal, una partícula en movimiento circular posee un momento angular. La suposición de Bohr es que éste momento angular (L=mv·r) sólo puede ser un múltiplo entero de la constante reducida de Planck (L=nh/2p)

La ecuación (5) predice que un electrón puede estar en órbitas relacionadas entre sí por un radio mínimo, r₀, llamado radio de Bohr, y que se expresa en función de constantes fundamentales. Sustituyendo los valores, r₀=0.529 å

El número n es llamado número cúantico principal, y describe en qué órbita se encuentra el electrón. La primera órbita tiene un radio de r₀. La segunda órbita tiene un radio 4•r₀, la tercera 9•r₀… etc

Deducción de la fórmula de Balmer a partir del átomo de Bohr

Viene de: La estructura atómica: luz y física cuántica
Ver también: Cuantización de las órbitas del átomo de Bohr

La cuantización de las órbitas del átomo, junto con la suposición ad hoc de Bohr de que un electrón no emite radiación mientras permanece en una órbita, lleva de forma natural a la fórmula de Bálmer.

La energía total del electrón es la suma su energía cinética (debida al movimiento), y energía potencial (debida a la atracción electrostática con el núcleo)

Esta ecuación significa que cada órbita lleva asociada una energía determinada. En particular, la órbita más baja tiene una energía de 13.6 eV (Electron-Voltios). El signo menos se interpreta como que el electrón se halla dentro del átomo. Cuanto más se acerque a cero este valor, quiere decir que está más cerca de escapar del átomo. A un electrón de orbital n=1 hay que suministrarle 13.6 eV para arrancarlo del átomo. Los demás orbitales (n=2, n=3, etc), necesitan una enería E₀/4, E₀/9, E₀/16,… etc para poder ser arrancados.

El factor E₀/h es la constante que Rydbeg que aparece en la fórmula de Bálmer. A través del átomo de Bohr se encuentra de forma teórica una expresión que había sido deducida empíricamente de experimentos anteriores.