Física cuántica: las partículas que son ondas

Durante siglos se especuló, y se argumentó a favor y en contra, sobre si la luz era una partícula o una onda. La aparición de la teoría electromagnética de Maxwell parecía cerrar definitivamente el debate a favor de la teoría ondulatoria, pero que sin embargo volvió a abrirse con el descubrimiento de los cuantos de energía.

Se podría decir que la reapertura del debate no era una novedad. Lo que si supuso una gran novedad fue la hipótesis formulada por Louis Víctor de Broglie (1892-1987), según la cual, una partícula, como un electrón, puede comportarse igualmente como una onda, y sufrir los mismos fenómenos, como los de interferencia y difracción. Por esta contribución recibió el premio Nobel en 1929.

Partiendo de la ecuación más famosa de Einstein, dedujo la expresión para el momento cinético de un fotón, y su relación con su longitud de onda. A partir de ahí, supuso que esa fórmula era general, de forma que para una partícula, con una masa m, desplazándose a una velocidad v, se le podía asociar una longitud de onda.

Según este resultado, una partícula tiene una longitud de onda menor cuanto mayor es su velocidad o su masa. La difracción de una onda ocurre cuando las ondas se encuentran en su cambio objetos de un tamaño comparable a su longitud de onda. En el caso de un electrón, cuya masa ronda los 9·10^-31 kg, a velocidades tan altas como el 1% de la velocidad de la luz (3·10⁶ m/s), el electrón posee una longitud de onda de l=2.45 å. Este es el tamaño típico entre átomos en un sólido, por lo que era de esperar que los electrones sufrieran este fenómeno.

Davisson y Thompson de forma independiente, confirmaron la interferencia y difracción de electrones, provocándose así una situación curiosa, dado que si en 1906 J.J. Thomson recibía el Nobel por demostrar que el electrón era una partícula, en 1937 su hijo G. P. Thompson(1892-1975) lo recibió (compartido con Davisson) por demostrar experimentalmente que el electrón es una onda.

Si todas las partículas tienen una longitud de onda asociada, si se pueden comportar como una onda. ¿Por qué entonces no se ve este comportamiento en la vida diaria?. La razón está en que la longitud de onda depende de la masa y velocidad de la partícula. Una pelota cualquiera, de apenas unos gramos (pongamos 200 gr), a una velocidad de 1 m/s, tiene una longitud de onda de l=3·10^-33 metros (Tamaño de un átomo: 10^-10 m. Tamaño del núcleo atómico 10^-15 m). Es una longitud de onda demasiado pequeña como para encontrar un obstáculo que la difracte. De esta forma, en el mundo clásico en el que vivimos, es imposible detectar comportamientos ondulatorios. Sólo cuando bajamos al nivel cuántico de los electrones es posible ver estos fenómenos.

Anexos

La cuantización de de Bohr
Difracción de electrones

El microscopio electrónico

La cuantización de Bohr

Viene de: Física cuántica: las partículas que son ondas

Cuando hablábamos del modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, decíamos que necesitó imponer un postulado, es decir, una condición de la que no tenía demostración, pero que le permitía explicar los fenómenos observados. Esta condición era que los electrones se hallan orbitando en torno al núcleo en órbitas cuyo momento angular era un número entero de veces la constante reducida de Planck.

La hipótesis de De Broglie, y la evidencia de que un electrón es una onda permite resolver este escollo. Cuando una onda se halla confinada en un espacio acotado, sólo puede tener longitudes de onda del tamaño del espacio en que está. Una cuerda de guitarra, por ejemplo, puede vibrar con longitudes de onda múltiplo de su longitud. De igual forma, si lo aplicamos ahora a un electrón, su longitud de onda debe ser tal, que sea un número n de veces la órbita que recorre:

l_orbita=2pr=nl

La longitud de onda se puede expresar como el momento cinético:



El primer término corresponde al momento angular de la órbita del electrón, que es la condición de cuantización que Bohr necesitaba.

Ver también: Cuantización de las órbitas del átomo de Bohr

Difracción de electrones

Viene de: Física cuántica: las partículas que son ondas

En 1937 Clinton J. Davisson y George P. Thomson recibieron el Nobel por demostrar los patrones de interferencia de los electrones, probando así que esta partícula se comporaba como una onda. De Broglie había deducido una ecuación por la que el electrón poseía una longitud de onda que dependía de su velocidad.

Esta longitud de onda se halla en rango de unos pocos angstrom, la distancia que separan a dos átomos en un sólido. Esta longitud de onda corresponde además a fotones de rayos X, radiación que se ya se usaba para estudiar la estructura de la materia en cristalografía.

Si el electrón había de comportarse igual que una onda, era de esperar que siguiera las mismas ecuaciones que para los rayos X. Un sólido cristalino está dispuesto de una forma ordenada: los átomos se ordenan en planos equidistantes. Cuando una onda llega a un sólido, se refleja en cada uno de estos planos. Como cada plano está más profundo de la muestra, esto genera que cada reflejo recorra un espacio distinto. A la salida de la muestra, si la diferencia de estos caminos coincide con un múltiplo de la longitud de onda, entonces las interferencias que se producen son constructivas, y la señal se refuerza. Además de la distancia entre planos, la diferencia entre caminos depende del ángulo de incidencia de la onda, por lo que sólo hay determinados ángulos en los que la interferencia es constructiva.

Ésta teoría se resume en una ecuación, la Ley de Bragg:

La longitud de onda depende del momento cinético de los electrones. Este momento cinético se les comunica acelerando las partículas por un voltaje V, para que adquieran una energía cinética:

Para un mismo valor de voltaje de aceleración aparecen varios ángulos, correspondientes todos múltiplos enteros n. Davisson llevó a cabo sus experimentos sobre una lámina de Niquel. En vez de variar el ángulo de incidencia y detección, le era más cómodo variar el voltaje de aceleración, y mantener un ángulo fijo de detección a 50º.

Cada vez que el voltaje cumpla la relación deducida a partir de la Ley de Bragg, aparece un pico en la gráfica

Física cuántica: ondas que son partículas

La mecánica cuántica da un marco teórico para el desarrollo de la estructura de la materia, empezando por la misma estructura del átomo. En gran parte, la mecánica cuántica se desarrolló paralelamente a esta última, aunque sin embargo, es mucho más amplia, y sirve en realidad para describir cualquier fenómeno en la escala espacial atómica.

Al igual que ocurre con la estructura atómica, la cuántica se desarrolla a partir de observaciones dispersas, en un principio relacionadas con la luz, y la interacción de ésta con la materia.

La radiación de cuerpo negro y la catástrofe ultravioleta

A finales del siglo XIX, el electromagnetismo de Maxwell había demostrado que la luz visible eran ondas electromagnéticas. Más aún, que existían otro tipo de ondas de igual tipo, cuya única diferencia era la frecuencia de oscilación. Todas estas ondas cumplen una relación entre su frecuencia ν, y su longitud de onda λ, de forma que

λν=c

siendo c la velocidad de propagación de la onda, en este caso, c=2.997·10⁸ m/s. Hablar de frecuencias, o hablar de longitud de onda es equivalente, si bien, el cambio en una de ellas implica un cambio en sentido contrario de la otra: un aumento de frecuencia es equivalente a una disminución de longitud de onda, y viceversa.

Cuando se calienta un cuerpo, éste emite radiación. El espectro de esta radiación, es decir, la cantidad de radiación que emite a cada frecuencia concreta, puede depender de la temperatura y del tipo de cuerpo que lo emite: cuando se calienta una barra de hierro, va cambiando de color, del rojo, al rojo intenso, amarillo y al blanco. Esta luz es emitida por el propio hierro candente.

Sin embargo, existe un tipo cuerpo del cual no importa su tamaño, forma o material, sino que sólo depende de la temperatura concreta a la que está. Un cuerpo así, absorbe toda la radiación que le llega, de ahí que se le llame cuerpo negro. Un ejemplo de cuerpo negro es una cavidad, con un pequeño orificio por donde entra la radiación. Dentro del cuerpo, la radiación rebota en sus paredes sin volver a salir por el agujero por el que ha entrado. Sin embargo, por el hecho de estar a una temperatura, éste agujero emite su propia radiación. Esta es la radiación de cuerpo negro, que trataban de caracterizar los físicos de finales del Siglo XIX.

Aunque el cuerpo negro más importante que conocemos es el Sol: una bola de gas a altísima temperatura, que genera un espectro de luz equivalente a un cuerpo negro a 5500 K.

Los científicos partían de supuestos ya conocidos de termodinámica y mecánica estadística: un conjunto de moléculas es imposible describirlas a través de la trayectoria e interacciones entre cada una de ellas (¡en un recipiente hay del orden de 10²³ moléculas!) , así que se recurría a calcular el valor medio, y distribución de sus velocidades, para poder calcular magnitudes medibles como la temperatura y presión.

Dentro de una cavidad como el cuerpo negro, hay multitud de ondas, por lo que Rayleigh (1842-1919) y Jeans (1877-1946) siguieron el mismo esquema: la energía total se repartía por igual en todas las ondas posibles. El resultado explicaba razonablemente bien la zona de baja frecuencia (el infrarrojo), pero sin embargo, predecía un aumento de la cantidad de radiación de mayor frecuencia, algo que supondría la emisión de una cantidad infinita de energía de cualquier objeto. A este resultado se llamó la “catástrofe ultravioleta”

Max Planck (1858-1947) revisó en 1900 la forma de hacer el cálculo. La equipartición de energía supuesta por Rayleigh y Jeans suponía que a cada frecuencia le corresponde la misma cantidad de energía. Planck revisó este concepto hasta deducir que a cada onda le corresponde una cantidad de energía proporcional a su frecuencia (E=hν)

Según el desarrollo de Rayleigh y Jeans, se podría excitar un infinito número de ondas en una cavidad, ya que siempre habrá alguna cuya longitud de onda sea lo suficientemente corta como para entrar en ella, y por la equipartición de energía, se asegura que siempre habrá energía suficiente para excitarla, por mínima que sea, no hay límite en el número de ondas posibles dentro de la cavidad. Además, al entrar más fácilmente en la cavidad ondas de longitud corta que larga, se acumulan más de éstas, es decir, se acumula más energía en la región ultravioleta, o de alta frecuencia: la catástrofe ultravioleta

En cambio, con la hipótesis de Planck, ondas de mayor frecuencia (= menor longitud de onda), se necesita una cantidad de energía mayor, de forma que llega un momento en que no hay energía suficiente para poder excitar ondas con frecuencias altas. Es decir, existe un número limitado de ondas que se pueden excitar en la cavidad. La constante de proporcionalidad entre la energía y la frecuencia, resultó ser muy pequeña: h=6.62·10^-34 [J•s] , y hoy se denomina constante de Planck.

La implicación del resultado es más profunda que sólo la explicación del espectro de un cuerpo negro. La energía de cada onda se halla cuantizada. Cada frecuencia necesita una energía mínima para poder excitar su vibración. De esta forma, la energía total de una frecuencia (E_ν) será un número entero de veces (n) la energía mínima hν. Es decir, E_ν=nhν.

El efecto fotoeléctrico

Otro problema de interacción luz-materia daría nueva evidencia del comportamiento corpuscular de la radiación. Philipp von Lennard (1862-1947) estudiaba capas finas de metales al ser iluminados por radiación.

En un marco clásico, la luz debía excitar los electrones, y llegar a arrancarlos al aumentar la intensidad de la radiación. Al aumentar la intensidad, debía además comunicar a los electrones arrancados una mayor energía cinética. Pero encontró en cambio que necesitaba una frecuencia mínima para poder arrancar electrones del metal. Por debajo de esa frecuencia mínima, era imposible arrancar electrones, sin importar la intensidad de la luz. Más aún, la energía cinética de los electrones arrancados tampoco dependían de intensidad, sino de la frecuencia igualmente.

Albert Einstein (1879-1950), en uno de sus célebres artículos en su año maravilloso de 1905, dedujo la solución a este problema. De forma independiente a Planck, llegó a la misma conclusión acerca de los cuantos de radiación, incluyendo el mismo valor para la constante h. Cuando uno de estos cuantos llegaba a la superficie del metal, un electrón absorbe su energía, y si ésta es suficiente como para abandonar el metal, lo hace. En caso contrario, no es emitido. De esta forma, sólo radiación con una energía mínima (que depende del material) es capaz de arrancar electrones. Más aún, al ser una energía fija, los electrones pierden una parte para salir del material, y la sobrante (también una cantidad fija) se emplea para adquirir una velocidad, o energía cinética.

Con una radiación por debajo de la frecuencia mínima, el aumento de la intensidad de la radiación, es decir, un mayor número de cuantos de luz, no provoca que se arranquen electrones porque ningún cuanto tiene la energía mínima. Por otro lado, radiación con energía suficiente, produce electrones con una energía cinética fija, y un aumento de la intensidad, provocará que se arranquen más electrones, pero todos con igual energía cinética. Es al aumentar la frecuencia de la luz cuando aumenta la energía cinética de los electrones arrancados.
Este enfoque es muy fácilmente entendible si se piensa en la radiación como partículas de energía fija que chocan con los electrones para arrancarlos del material.

El efecto Compton

El último de los experimentos que ponen de relieve las propiedades corpusculares de la luz es la dispersión Compton, descubierta por Arthur Compton (1892-1962), cuando trabajaba con la dispersión de rayos X. En la dispersión, detectó cómo la longitud de onda de la radiación dispersada aumentaba, es decir, la radiación perdía energía. Una vez más, el fenómeno es comprensible si se toma a la radiación como partículas, y se analiza el choque contra otra partícula, teniendo en cuenta la conservación de energía y momento.


El cuanto de radiación posee una energía dada por su frecuencia. Igualmente, posee un momento cinético, como el de cualquier partícula, que depende de su longitud de onda. En el choque, parte de la energía y del momento cinético se transmiten a la partícula. El resultado es una pérdida de energía de la radiación, que se revela en una disminución de su frecuencia, o de aumento de su longitud de onda.

La explicación a estos fenómenos se basan en la cuantización de la energía de la luz, que la hace comportarse como una partícula, bautizada como fotón. En la próxima entrada veremos cómo la materia puede comportarse a su vez como una onda

Anexos

- El efecto fotoeléctrico
- El efecto Compton

El efecto fotoeléctrico

Viene de: Física cuántica: ondas que son partículas

En 1905 Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico, deduciendo de forma independiente a Planck que la radiación estaba compuesta por partículas, con una energía proporcional a su frecuencia, y contribuyendo así al establecimiento de la física cuántica. Por este desarrollo, Einstein recibió en 1928 el premio Nobel.

En el experimento, un haz de luz incide sobre un metal. La acción de la radiación es arrancar electrones de la placa, que con la aplicación de un campo eléctrico, se conducen hasta otra placa “colectora”, para registrar una corriente eléctrica en un amperímetro, una forma de cuantificar los electrones que son emitidos

Lo que se encontró experimentalmente fue que:

- Los electrones son emitidos cuando la frecuencia de la luz alcanza un valor mínimo. Por debajo de este valor umbral, no se emite ninguno, sin importar la intensidad de la luz.
- Si se aplica un voltaje de “frenado” V entre el colector y el emisor, los electrones pueden verse frenados por esta energía potencial. Al aumentar este voltaje, la intensidad disminuye, hasta llegar a un valor máximo por encima del cual ningún electrón llega al colector, y la intensidad se anula. Este valor máximo depende de la frecuencia, y es mayor, cuanto mayor es la frecuencia del radiación.

La explicación es sencilla si se considera a la luz como una partícula, un fotón. Tiene una energía determinada proporcional a su frecuencia. Ésta es absorbida por el electrón, que debe:
a) Primero salir del material. Esto le cuesta una energía, llamada función de trabajo.
b) Segundo, desplazarse. Con la energía sobrante tras gastar la necesaria para abandonar el material, el electrón se pone en movimiento con una energía cinética.

hν=Φ+E_c
E_c=hν-Φ

Dado un material, con una función de trabajo Φ un fotón debe al menos, proporcionar esa energía para arrancar el electrón. Si la energía del fotón es menor que la función de trabajo, el electrón no puede ser arrancado del material. Si la energía es mayor que ese valor, entonces la energía sobrante se transforma en energía cinética que mueve al electrón. En el caso límite en que toda la energía se emplea en superar la función de trabajo, pero no hay energía cinética para moverlo:

La frecuencia mínima para producir el efecto fotoeléctrico viene dada por Φ/h

Al aplicar el potencial eléctrico V de frenado, el electrón va perdiendo energía en su camino, de forma que sólo llegarán aquellos que recorran el trayecto más corto entre la placa emisora y el colector. Al aumentar el potencial de frenado, entonces se puede llegar al punto que ni siquiera éstos últimos sean capaces de llegar. El potencial entonces eliminando la energía del electrón en una cantidad igual a la energía cinética con que salió el electrón.


En el caso límite en que el voltaje frena todos los electrones, la energía cinética se iguala a la energía potencial creada por el voltaje de frenado, eV, siendo e la carga del electrón.

eV=E_c=hν-Φ

De esta forma quedan explicados los fenómenos observados con el efecto fotoeléctrico.

Efecto Compton

Viene de: Física cuántica: ondas que son partículas

Es quizás la muestra más evidente del comportamiento como una partícula de una onda electromagnética, ya que el análisis matemático del problema es exactamente igual al que si chocaran dos partículas, excepto porque las expresiones de la energía y momento cinético del fotón no incluyen la masa, sino la longitud de onda.

Un fotón, con longitud de onda λ, choca con un electrón en reposo. El fotón intercambia energía y momento cinético con él, y es desviado un ángulo θ, mientras que el electrón es igualmente desviado, además de adquirir una velocidad determinada.

Antes del choque, tanto la energía como el momento corresponden en su totalidad al fotón, ya que el electrón se halla en reposo. Tras el choque, el electrón adquiere un momento p_e=m_ev, que se relaciona con la energía cinética como E_c=p_e²/2m_e. La energía y el momento totales deben ser iguales al inicial, por lo que al igualar:

El cambio en la longitud de onda no es muy grande, es decir, λ es parecido a λ’. En estas circunstancias, el primer término del lado derecho es despreciable, y se puede ignorar, por lo que al final, la ecuación de Compton para la dispersión de fotones por choques con electrones es: