jueves, 29 de marzo de 2007

La mecánica ondulatoria de Schrödinger

La mecánica matricial de Heisenberg fue un éxito ya que de ella se podían deducir los resultados ya conocidos de física cuántica, pero partiendo de principios generales válidos para cualquier sistema. Sin embargo, el desarrollo es farragoso, y bastante abstracto, lo cual hacía a la teoría de Heisenberg poco atractiva.

A Erwin Schrödinger (1887-1961) le desagradaba tanta abstracción, y prefirió desarrollar la mecánica a través de conceptos más reales. Partió de la teoría de Louis de Broglie, en la que se podían considerar a las partículas como ondas. Si este era su comportamiento (al menos uno de ellos), entonces matemáticamente ese sistema debía ser descrito por ecuaciones correspondientes a ondas.

Gracias al desarrollo matemático de Joseph Fourier (1768-1830), se sabe que cualquier función puede ser descrita como una combinación infinita de funciones seno y coseno: que son precisamente las que describen a las ondas más simples. De esta forma, un sistema y su evolución, se describe por una suma de ondas. La mecánica de Schrödinger es llamada así mecánica ondulatoria, y se resume en una única ecuación en derivadas parciales, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:


(Versión simplificada, donde Y es la función de onda que describe el sistema, y V(x) es la energía potencial del sistema. La ecuación se puede generalizar a las 3 dimensiones del espacio, usando geometría cartesiana, cilíndrica o esférica)


Pero, ¿qué significa esta ecuación?

La mecánica trata de hallar la evolución de un sistema, partiendo de los factores que lo afectan. La mecánica de Newton trata de hallar la trayectoria en el espacio de un móvil, sabiendo cómo actúan determinadas fuerzas a través de las tres leyes de Newton.

William Hamilton (1805-1865) desarrolló una mecánica equivalente a partir de conceptos distintos. En vez de tratar con el intuitivo concepto de fuerza (una fuerza produce un cambio en el movimiento de una partícula, una aceleración), usó el más abstracto y general energía. Un sistema posee una energía cinética debida a su movimiento. Cuando nada interacciona con el sistema, esa es su única energía. Sin embargo, cuando hay una interacción, hay un intercambio de energía a través de una energía potencial. Este intercambio es el que produce las fuerzas en la descripción de Newton.

La mecánica de Hamilton en primer lugar determina cual es la energía total del sistema: la suma de energía cinética, y potencial. Esta cantidad recibe un nombre: el hamiltoniano. Para hallar la trayectoria se hace uso de un principio general de la física: el principio de mínima acción, por el cual, la evolución de un sistema será tal que hará que su energía total sea la mínima posible. De todas las trayectorias posibles que pueda tener un móvil, realizará aquella que minimice su energía.

La ecuación de onda de Schrödinger sigue esta misma filosofía. El primer término del lado izquierdo de la ecuación se representa la energía cinética, mientras que el segundo la energía potencial: es el hamiltoniano, pero en versión cuántica.



Cuando un sistema no depende del tiempo, es un sistema estacionario, y la ecuación a resolver es ésta, llamada ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Mientras en la mecánica clásica de Hamilton trataría de hallar la función Y tal que el valor de E sea mínimo, la mecánica cuántica trata de calcular todas las funciones Yn con su correspondiente energía En, ya que según el enfoque tomado por de Broglie y Schrödinger, y gracias también a el desarrollo matemático de Fourier, la descripción total del sistema es una combinación de todas estas funciones de onda, cada una con su propia energía.

Los operadores

Si vemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, matemáticamente es un problema conocido como de autovalores, y que ya había desarrollado Fourier: la solución a la ecuación son todas esas funciones (llamadas autofunciones) Y1,Y2,Y3... tales que al aplicarles una serie de operaciones, resulta un número de veces E1,E2,E3(autovalor o valor propio) la misma función Y1,Y2,Y3... Sólo esas funciones son válidas, y la solución general al problema es una suma de todas las autofunciones.

De esta forma, hay que hablar de operadores. La ecuación de Schrödinger, hemos dicho que representa la versión cuántica del hamiltoniano H, una cantidad que contiene la suma de energía cinética y potencial:


Si queremos asimilar las expresiones clásica y cuántica del hamiltoniano, entonces hay que identificar al momento lineal p con un operador que actúa sobre la función de onda calculando su derivada. La energía potencia, una función de la posición x, sería un operador que multiplica la expresión V(x) por la función de onda.

El significado físico de los operadores es el de calcular una magnitud observable en un proceso de medición. Más concretamente, dada una función de onda Y, suma de varias autofunciones (Y=AY1+BY2+CY3...), el resultado es en realidad la probabilidad de que la medida se corresponda con un sistema en el estado Y1, Y2, ó Y3... Por ejemplo, el operador hamiltoniano H, da como resultado observable la energía total del sistema En, de cada uno de los estados posibles, y la probabilidad medir tal valor .

La función de onda representa por tanto una probabilidad respecto al estado en que se encuentra el sistema, y una medida del sistema revela uno y sólo uno de estos estados, con una probabilidad determinada.

Este es uno de los pilares más importantes para la interpretación de la mecánica cuántica: antes del proceso de medición, el estado del sistema no está definido, sino que hay unas probabilidades de que tras realizar una medida, el resultado de la medición sea uno en concreto. Sin embargo, tras haber sido medido, el sistema permanece en ese estado determinado. Para un sistema dado, no es posible determinar qué estado se revelará en un proceso de medición. Sin embargo, sí se puede determinar la probabilidad de que ese resultado aparezca.

Mecánica matricial vs mecánica ondulatoria

Un resultado importante de la mecánica matricial de Heisenbserg era el principio de incertidumbre que aparecía durante el proceso de medida. El orden en que se hacen las medidas hace variar el resultado, de forma que si se miden posición y momento, la cantidad [x•p – p•x] es distinta de cero (y en particular, un número complejo). Este resultado sugería la necesidad de utilizar matrices que representen a x y p, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Desarrollemos ahora con los operadores x y p la diferencia xp – px aplicada a una función de onda Y.


Estos operadores, por tanto, tampoco poseen la propiedad conmutativa, sino que hay una diferencia distinta de cero, e igual a la obtenida por Heisenberg. Esta coincidencia sugiere por tanto que el tratamiento con operadores es equivalente al tratamiento con matrices . De hecho, los elementos que forman las matrices se pueden calcular a partir de los operadores y las funciones de onda.

La equivalencia entre ambas descripciones de la mecánica cuántica la demostró el británico Paul Dirac (1902-1984) en 1925

1 comentario:

Camila dijo...

Siempre en casa me gusta pasar tiempo entendiendo y aprendiendo materias exactas como matematica y física y por eso me gusta tener la chance de seguir aprendiendo esto. Quisiera poder comprar en fravega una computadora para acceder a teorías.