Estructura cristalina y arquitectura

Viene de: Estructuras cristalina sencillas

En 1958 se celebró una exposición universal en Bruselas. Para tal ocasión, se construyó una estructura metálica diseñada por André Waterkeyn que reproducía a escala la estructura básica de un cristal de hierro. Esta estructura es llamada "Atomium", y está situada al norte de la ciudad, cerca del estadio de Heysel.


El cristal de hierro posee una constante de red de 2.87 å, mientras que la altura del Atomium es de 103 metros, que corresponde a una diagonal del cubo. La diagonal de la estructura de hierro es de 4.97 å (4.97·10^-10 metros), por lo que el Atomium representa el cubo aumentado en 207 mil millones de veces.

Como se puede ver, es una estructura cúbica centrada en el cuerpo (BCC), con un total de 9 átomos, uno por cada esquina del cubo, y uno más en el centro.


Sin embargo, hemos de recordar que cada átomo de una esquina en realidad pertenece a todos los cubos vecinos, que son 8 cubos por cada esquina. Eso quiere decir que un mismo átomo colocado en una esquina, es compartido por 8 cubos vecinos, por lo que la fracción de átomo que pertenece a un sólo cubo es 1/8. Siendo 8 esquinas las que tiene un cubo, el número de átomos que tiene el cubo son 8·1/8=1 átomo. Junto con el átomo del centro, en total, son 2 átomos los que contiene la estructura unidad BCC.

El Atomium se puede visitar por dentro por el módico precio de 9 euros, y se puede acceder a 4 de sus "átomos" a través de escaleras bastante empinadas. Al átomo más alto se accede por ascensor, y contiene un resturante desde donde se puede observar la ciudad de Bruselas.


Aunque si quieren un consejo, no entren. Por dentro (en 2009) no hay nada interesante que ver (a menos que alguien considere interesante la historia política de los países africanos).

Estructuras cristalina sencillas

Hemos visto anteriormente que los átomos se colocan en un sólido cristalino de forma regular y periódica. Esta restricción hace que haya sólo unas pocas redes posibles.

En un sólido de 3 dimensiones hay sólo 14 redes distintas, agrupadas en 7 sistemas. Las redes se describen a través de vectores unidad (a,b,c), que establecen la periodicidad en cada dirección, así como la dirección relativa, o ángulos que forman entre ellas (a,b,g)



El sistema más general es el triclínico, ya que tiene distintos entre sí tanto los ángulos, como los vectores que definen la red. Sin embargo, los sistemas más comunes, y a la vez más simples, son el cúbico, y el hexagonal.

El cúbico, como su nombre indica, forma un cubo con igual periodicidad en las tres direcciones, y con ángulos de 90º. Ejemplos son la sal común (Cloruro de sodio, NaCl), el silicio (Si), o el diamante (Carbono, C)

El sistema hexagonal tiene dos vectores formando un ángulo de 120º, y el tercero 90º. Esta forma es la de un prisma hexagonal, y corresponde a materiales como el grafito (Carbono, C), o el zafiro (también llamado alúmina, Al2O3)

La red cúbica

La base más simple es colocar un átomo en una sola esquina de un cubo:



Este tipo de red se denomina Red Cúbica Simple (SC), y sólo tiene un punto de la red que se ocupa. Al formar la red cristalina, los átomos de las celdas adyacentes completan las esquinas del cubo. La posición de la esquina inferior izquierda, en primer plano, se suele considerar el origen de coordenadas de la celda unidad. Así, las coordenadas de este punto de red serían (0,0,0). A pesar de su simpleza, no hay muchos elementos que cristalicen de esta forma.

El segundo tipo de red cúbica es la llamada Cúbica Centrada en el Cuerpo (Body-Centered Cubic, BCC). En este caso, existen dos puntos de red ocupados, que son una esquina, y el centro del cubo:



En este caso, los dos puntos de red se hallan en las coordenadas (0,0,0) y (a/2,a/2,a/2), siendo a el parámetro de red, o la longitud de la arista del cubo de la celda unidad. Ejemplos de materiales que son redes cristalinas BCC es el latón (CuZn, a=2.94 å). Un átomo de Cu se coloca en la esquina, mientras que el de Zn ocupa el del centro del cuerpo. Es decir, la celda unidad contiene 1 átomo de cobre, y 1 de zinc.

La última estructura cúbica es la centrada en las caras (Face Centered Cubic, FCC). Tiene 4 puntos de red: una en la esquina, y tres más en las caras del cubo.



Las cordenadas de los puntos de red están en (0,0,0), (0,a/2,a/2), (a/2,0,a/2), y (a/2,a/2,0). Una red muy conocida de este tipo es el cloruro de sodio (sal común , NaCl), a=5.63 å). A diferencia del latón, esta vez cada punto de red no está ocupado por un átomo de cada clase, sino por una molécula de NaCl, por lo que cada celda unidad contiene 4 átomos de Na, y 4 de Cl.



Otros ejemplos de red FCC son el Silicio (Si) o el arseniuro de galio (GaAs), cada uno con sus particularidades en su estructura, ampliamente utilizados en microelectrónica.

La red hexagonal

De todas las redes, hay dos que ofrecen la máxima compactación posible. La primera es la FCC. La otra es la hexagonal compacta.

La red hexagonal está compuesta por tres vectores a,b,c, que cumplen que a=b, con un ángulo de 120º, y el ángulo entre a y b con c es de 90º. La máxima compactación se consigue cuando c=1.633•a. La base está formada por dos átomos, el primero situado en el origen (0,0,0), y el otro en las posiciones (2a/3, a/3, a/2)

Anexo

Diamantes y lapiceros
Estructura cristalina y arquitectura

Diamantes y lapiceros

Viene de: Estructuras cristalina sencillas

El carbono es un elemento que puede cristalizar en fase sólida de dos maneras distintas: como red FCC, o en estructura hexagonal. Estos dos tipos de redes le confieren propiedades radicalmente distintas. Cuando cristaliza en red cúbica, es un diamante. Cuando cristaliza como red hexagonal, es más conocido por grafito, lo que forma las mina de un lapicero.

La red FCC tiene asociada una base con 4 puntos: uno en la esquina, y tres en el centro de las caras del cubo. Cada punto de red lleva asociado dos átomos de Carbono. El segundo se halla desplazado del primero en (a/4, a/4, a/4). Esta estructura es la responsable de que el diamante sea duro,brillante, y además sea un buen aislante eléctrico.




Por otro lado, el grafito presenta una estructura hexagonal, con una base de dos puntos: el origen de la red, y en (2/3,1/3,1/2). Esta estructura hace que el grafito sea un material frágil, oscuro y conductor de electricidad. Todo lo contrario que un diamante.

Este ejemplo tan extremo de las estructuras que puede adquirir el carbono, demuestra que en un material, la estructura es la clave de donde partir para entender sus propiedades.

La red cristalina

Los estados de la materia

Hasta ahora hemos visto la estructura interna de un átomo aislado, y cómo se organizan los electrones en él. Las investigaciones que llevaron a comprender el átomo llevaron al desarrollo de la mecánica cuántica.

Sin embargo, los átomos no están aislados, sino que interaccionan con otros átomos y moléculas, o con radiación. Fruto de estas interacciones un conjunto de átomos se puede presentar en varios estados distintos, dependiendo de la intensidad de estas interacciones:

Pueden formar un gas, cuando las interacciones son débiles, y se reducen prácticamente a colisionar entre ellos, como si fueran un montón de bolas de billar totalmente libres de moverse por la mesa. El gas se adapta al volumen en que se encierra, ocupándolo enteramente.

Forman un líquido cuando las interacciones hacen formar enlaces débiles, suficientes como para unir moléculas o átomos durante un lapso corto de tiempo, de forma que el conjunto adquiere una cierta cohesión, pero los átomos y moléculas mantienen una alta movilidad dentro del conjunto. Un líquido se adapta al volumen que lo contiene, pero no tiene porqué ocuparlo totalmente, como ocurre al echar agua en una botella: adquiere su forma, pero no ocupa todo el volumen de la botella.

Y forman un sólido cuando las interacciones son capaces de hacer estos enlaces entre átomos duraderos y estables, de forma que pierden totalmente su movilidad. Un sólido es rígido, y no se adapta al volumen que lo contiene. Un sólido tiene su propia forma y volumen.

Un factor muy importante que determina si las interacciones son intensas o débiles, es la energía cinética: el movimiento de los átomos o moléculas, si éste es rápido o lento. Un indicador directamente relacionado con este parámetro es la temperatura. En gases, la energía cinética es alta de forma que las interacciones son sólo efectivas cuando los átomos pasan muy cerca entre sí, produciéndose colisiones, pero sin frenarlos. No tiene sentido hablar de una estructura.

Los átomos o moléculas de un líquido poseen una energía cinética menor que su respectivo gas, de forma que las interacciones son de más largo alcance y duración que en los gases. El líquido tampoco tiene una estructura en sí misma, pero sí puede presentar pequeñas agrupaciones de átomos o moléculas, llamados “clusters”, con un cierto ordenamiento o estructura microscópica.

En un sólido, la energía cinética es tan pequeña que las interacciones afectan tanto a los átomos que los detienen, haciendo las interacciones entre ellos estables y duraderas. En este caso sí se puede hablar de una estructura macroscópica de un material.

El sólido cristalino

En los gases y líquidos las interacciones entre átomos no son estables ni duraderas. Por tanto, las posibles alteraciones que puedan sufrir los átomos no son estables, y su estructura interna no se ve afectada.
En un sólido en cambio, la interacción entre átomos es tan intensa que los mantiene estáticos, haciéndolas además duraderas y estables. ¿Cómo afectan estas interacciones a los átomos y su estructura interna? ¿Y cómo contribuyen estas diferencias respecto de un átomo aislado a las propiedades del sólido?

Un sólido es un conjunto de átomos estáticos que ocupan una posición determinada. Existe una primera distinción en la estructura de los sólidos, en función de las posiciones de los átomos:

Los materiales amorfos son materiales que tienen átomos ocupando el espacio de forma irregular: no es posible encontrar un patrón de repetición. Un ejemplo de material amorfo es el vidrio.

En los materiales cristalinos, o cristales, los átomos mantienen una posición siguiendo una distribución periódica. Es decir, un sólido cristalino está formado por un pequeño grupo de átomos, con una estructura determinada, y esta estructura se repite de forma periódica a distancias fijas. La gran mayoría de los materiales son cristalinos. Un ejemplo bastante conocido es la sal común, que forma pequeños cubos de sodio y cloro que se van repitiendo por todo el material.

Un cristal ideal se construye pues con una repetición infinita de una unidad estructural, o “celda unidad”. Ésta puede contener a su vez varios átomos, dispuestos de cualquier forma. Así, se pueden distinguir dos partes en la celda unidad:

La red: Es la “caja”, o estructura que se va a ir repitiendo por todo el cristal, que se delimita por vectores, que no tienen por qué ser perpendiculares, ni tener igual longitud.

La base: Es el contenido de la estructura, que es siempre el mismo, y colocado siempre en las mismas posiciones y orientación respecto del origen de coordenadas de la red.

Se llama parámetro de red al tamaño de la red, que es la que determina la periodicidad del cristal. En un cristal puede haber distintas periodicidades en cada eje del espacio. Dado un origen de coordenadas, es posible conocer la posición de todos los átomos, dado que todos están distanciados un número entero de veces el parámetro de red.

Redes fundamentales

Una red viene parametrizada por unos vectores. Éstos pueden tener tamaños distintos (dando lugar a distintas periodicidades en cada dirección), y no tienen por qué estar a 90º uno respecto del otro. (En los dibujos se ha representado una red de 2 dimensiones, delimitada por dos vectores. Una red tridimensional se delimita por 3 vectores).

Sin embargo, no cualquier red es válida. Sólo son válidas las que cumplen ciertos requisitos de simetrías. Por ejemplo, la simetría que presenta un pentágono no es válida para hacer una red, ya que esa figura no es capaz de rellenar el espacio sin dejar huecos vacíos.

La simetría que tiene un hexágono sí permite en cambio que pueda hacer una red:

De esta forma, el número de redes posibles se halla limitado. En dos dimensiones, sólo existen 5 tipos de redes, en función de la longitud relativa de cada vector, y el ángulo que forman.

A cada una de estas redes se les denomina Red de Bravais

Para 3 dimensiones, existen unas pocas más: 14 redes de Bravais en total, agrupadas en 7 sistemas distintos.

Anexo

Arte, cristales y patos

Arte, cristales y patos

Viene de: La red cristalina

Maurits Escher (1898-1972), M.C. Escher, fue un artista holandés, cuyas obras más famosas incluyen escaleras y edificios imposibles. Parte de sus obras también tratan de la forma de rellenar el espacio, a través de la repetición de patrones, al igual que ocurre en un sólido cristalino. Es fácil identificar en sus obras el mismo tipo de estructuras que se dan en un sólido, aunque restringido a dos dimensiones.

Partiendo de una base de dos patos, incluidos en una estructura de paralelogramo, Escher puede rellenar todo un plano al repetir el paralelogramo. Los patos se acoplan uno con otro para no dejar huecos libres, y rellenar el plano hasta el infinito.

Enlace relacionado

Web oficial de M.C. Escher

El efecto túnel

El desarrollo de la mecánica cuántica hace posible el descubrimiento de nuevos efectos, imposibles desde un punto de vista clásico. Quizás el más popular es el efecto túnel, donde, haciendo una comparación rápida y mala, es como si al tirar una pelota a una pared, la atravesara sin tocarla. Así es como se desprende de un análisis de una situación análoga, a través de la ecuación de Schrödinger.

La pared cuántica

Veamos primero qué se entiende por “pared”, y qué le ocurre a un electrón cuando llega a ésta. La energía de una partícula siempre es la suma de su energía cinética, y la energía potencial. Por tanto, su energía siempre será igual o mayor que la potencial. Los casos en que la energía es menor que a potencial, desde la física clásica, representan estados imposibles de alcanzar por parte de una partícula. Así, el punto en que la energía total se iguala a la potencial representa un “punto de retorno”, la partícula no puede avanzar, sino que debe retroceder. Es el equivalente a una “pared”.

En la figura, la energía del electrón de arriba es mayor que el escalón, y por tanto lo supera, perdiendo un poco de energía cinética. El electrón de abajo en cambio, debe retroceder tras llegar al punto en que su energía es igual a la energía potencial, y por tanto, su energía cinética se anula en ese punto.

Analicemos la situación del segundo electrón desde el punto de visto cuántico, con la ecuación de Schrödinger.

La ecuación a resolver es la siguiente:

cuya solución, vimos en la entrada anterior, es una combinación de seno y coseno. La combinación de seno y coseno, por la fórmula de Euler, es equivalente a una función exponencial imaginaria, y más útil para el análisis que sigue. Así, la función de onda se puede expresar de forma general como:

Tal como vimos anteriormente, k (el vector de onda) está relacionado con el momento cinético, y por tanto, el sentido en que se desplaza la partícula. Un signo + significa que se desplaza en el sentido creciente de x (va de izquierda a derecha). El signo – describe un movimiento en sentido contrario. Tal como se ha planteado el dibujo, estamos en el primer caso, es decir, el electrón se desplaza de izquierda a derecha, situación que en la función de onda describe el primer término(k positivo). Por tanto, en nuestro caso concreto, se debe escoger B=0 para anular el segundo término.

Veamos ahora las dos regiones del espacio que delimita el escalón. A la izquierda, (E-V) es una cantidad positiva,(energía total mayor que la potencial), y la ecuación de onda representa a un electrón libre (una exponencial imaginaria, o una combinación de funciones seno y coseno). En cambio, en la zona derecha, (E-V) es negativo (energía menor que la energía potencial), el vector de onda es imaginario, y la función de onda representa una exponencial real decreciente. Es decir, aún siendo una zona prohibida según la física clásica, en la mecánica cuántica una partícula puede existir en esa zona, pero con una probabilidad cada vez menor, según se profundiza en la pared.

La distancia que puede penetrar un electrón en la zona prohibida antes de que su probabilidad sea prácticamente nula, depende de la diferencia entre su energía y el valor del potencial. Cuanto mayor sea la diferencia E-V, más rápidamente cae la probabilidad. En el caso extremo en que V tiende a infinito, la profundidad de penetración tiende a cero, es decir, el electrón no entrará en la pared (tal como se asumió cuando hablábamos del pozo cuántico).

El efecto túnel

Por tanto, un partícula puede penetrar en una pared de potencial, algo imposible según la física clásica. Una partícula puede penetrar una distancia (pequeña), aunque la probabilidad de encontrar a la partícula en ese lugar disminuye según se profundiza. ¿Qué ocurre si la pared de potencial termina antes de que esta probabilidad se extinga, o se reduzca demasiado?. En este caso, al “otro lado” de la pared la función de onda vuelve a describirse por un electrón libre. Es por tanto posible que un electrón llegue a una barrera, la atraviese, y aparezca al otro lado de ésta, con una probabilidad determinada, aunque menor que la que tenía antes de atravesar la barrera.

La probabilidad de atravesar la barrera depende de la masa de la partícula, de la altura de la barrera, pero sobre todo, de su anchura. Las distancias típicas para que la probabilidad sea suficiente para hacer túnel está en el orden de los angstroms y nanómetros.

Desintegración alfa

La emisión de partículas alfa está relacionada con el efecto túnel. Una partícula alfa es un átomo compuesto por 2 protones y 2 neutrones, sin electrones. Corresponde a un núcleo de Helio 4 (⁴He²⁺). Un átomo con un número elevado de protones y neutrones mantiene estas partículas pegadas entre sí gracias a la interacción fuerte. Un esquema de la energía potencial en el interior de un átomo es como sigue:

Existe una zona de barrera de potencial en la transición entre el dominio de la interacción fuerte y la electrostática. Superar esa barrera requeriría aportar una gran cantidad de energía. Sin embargo, una partícula alfa es capaz de atravesar la barrera por efecto túnel, desintegrando así el núcleo al que pertenecía.

El microscopio de efecto túnel

El efecto túnel es la base hoy día de algunos dispositivos, como son diodos, láseres y detectores. Pero una de las aplicaciones más importantes está relacionada con la microscopía de superficies.

Ver STM: Microscopio de efecto túnel

STM: El microscopio de efecto túnel

El microscopio de efecto túnel (Scanning Tunneling Microscope) fue inventado en 1981 por Gerg Binning, y Heinrich Rohrer. Recibieron el premio Nobel por ello en 1986. El STM aprovecha la capacidad de los electrones para atravesar una barrera de potencial, para registrar la corriente eléctrica que se produce entre una punta (o sonda), y la muestra. Un electrón dentro de un metal posee una energía determinada. La superficie del sólido representa una barrera de potencial que debe “saltar” para conseguir salir de ésta. Al acercar otro metal (la sonda), y aplicando un campo eléctrico para dirigir el electrón hacia el metal, se crea una barrera con una distancia lo suficientemente pequeña como para que el electrón sea capaz de hacer túnel, sin necesidad de saltar la barrera.

La corriente que se puede registrar con un amperímetro es proporcional a la probabilidad de que el túnel ocurra. Que a su vez, depende de la distancia entre la punta y la muestra. De esta forma, registrando la intensidad eléctrica, se obtiene información de la distancia a la que se halla la punta.

Un esquema simple de un montaje de un STM consiste en una punta cercana una muestra, registra la intensidad túnel que se produce. La intensidad controla un piezoeléctrico (material que varía su longitud al aplicarle un campo eléctrico) que actúa sobre la punta para acercarla o separarla de la muestra, que se halla montada sobre una mesa x,y que la desplaza. De esta forma, al hacer un recorrido en x e y, la punta barre la muestra, registrando la intensidad que ocurre en cada punto.

Hay varias formas de operar en un STM, aunque la más común es mantener una corriente túnel constante. Esto se consigue manteniendo una distancia entre punta y muestra constante. Según se barre la punta sobre la muestra en los ejes x e y, se va controlando la corriente túnel. Cuando la punta llega un punto donde la muestra tiene valles o salientes, esta corriente va a variar. Esta variación indica que hay que acercar o alejar la punta de la muestra en el eje z, para volver a conseguir la misma corriente, lo cual se hace a través del piezoeléctrico. Un ordenador se registra cuanto ha habido que alejar o acercar la punta en el eje z, en ese punto (x,y) de la muestra, de forma que tras finalizar el barrido se tiene un mapa que muestra las variaciones en el eje z. Es decir, una gráfica que está relacionada con la topografía, la forma de la muestra.

Otra forma de actuar es mantener la posición de la punta constante, y registrar la corriente eléctrica en cada punto de la muestra, que variará al pasar por valles o salientes. Sin embargo, se corre el riesgo de estrellar la punta en algún saliente de la muestra, echando a perder tanto una como otra. El resultado final también da información de la topografía de la muestra.

Habitualmente, los resultados se presentan en forma de mapa x,y con colores, donde el código de colores representa los valores del eje z.

Actúa de microscopio, permitiendo “ver” la superficie de la muestra. La precisión de este instrumento es tal que permite ver los átomos de un sólido. Es útil para estudiar las superficies de los sólidos, y sus propiedades electrónicas. Sin embargo, las muestras deben ser conductoras. Otro de los requerimientos para los STM es que deben funcionar en vacío, lo que conlleva el integrar el sistema dentro de campanas de vacío, con el engorro para cambiar muestras que supone.

Para observar algunas imágenes obtenidas por STM, puedes hacerlo en la página web de nanotec.

Ver El efecto túnel